1、第4讲 不等式、线性规划 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分考情分析 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高1 热点题型分析 PART ONE 热点题型分析热点 1 不等式的性质及解法1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用2.一元二次不等式的解法先化为一般
2、形式 ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集3.简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0(b0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；ab a b；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()A.BC.D答案 A解析 解法一：由 ab0 可得 a2b2，所以成立；由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2x 在 R 上是增函数，f(a)f(b1)，即 2a2b1，所以成立；ab0，a b，(ab)2(a b)22 ab2b2 b(a b)0，ab a b，所以成立；若 a3，b2，则
3、 a3b335,2a2b36，有 a3b3b2，2a2b1，ab a b均成立，而a3b32a2b不成立，故选 A.2.函数 f(x)3xx2的定义域为()A.0,3B.(0,3)C.(，03，)D.(，0)(3，)解析 要使函数 f(x)3xx2有意义，则 3xx20，即 x23x0 x(x3)0，解得 0 x3，故选 A.答案 A3.不等式2x4x1 1 的解集为()A.x|x1 或 x3 Bx|1x3C.x|1x3Dx|1x3答案 C解析 由2x4x1 1，移项得2x4x1 10，即x3x10，x3x10，x1，解得 10，y0，xyp(定值)，当 xy 时，xy 有最小值 2 p.(简
4、记：积定和最小)(2)如果 x0，y0，xys(定值)，当 xy 时，xy 有最大值14s2.(简记：和定积最大)2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：(1)通过变形直接利用基本不等式解决(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式常见的转化方法有：若axby1，则 mxny(mxny)1(mxny)axby manb2 mnab(字母均为正数)；x bxaxa bxaaa2 b(xa，b0)1.下列结论正确的是()A.当 x0 且 x1，lg x 1lg x2B.1
5、x210 时，x 1x2D.当 0 x2 时，x1x无最大值答案 C解析 对于 A，当 0 x1 时，lg x0 时，x 1x2x 1x2，当且仅当 x1 时等号成立；对于 D，当 0 x2 时，yx1x单调递增，所以当 x2 时，取得最大值，最大值为32.故选 C.2.已知 0 x1，则函数 yx5x2x1的最小值为_答案 9解析 x1，x10，yx5x2x1x27x10 x1x125x14x1x1 4x152x1 4x159，当且仅当 x1 4x1，即 x1 时取“”(由于 x1，故 x3 舍去)，yx5x2x1的最小值为 9.4.(2018江苏高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边
6、分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_答案 9解析 由题意可知，SABCSABDSBCD，由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin12012a1sin6012c1sin60，化简得 acac，1a1c1，因此 4ac(4ac)1a1c 5ca4ac 52ca4ac 9，当且仅当 c2a3 时取等号，则 4ac 的最小值为 9.1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三等能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可2.第 2 题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征
7、适当变形凑出两式之和为定值；第 3 题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值第 4 题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.热点 3 简单的线性规划问题1.解决线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值2.常见代数式的几何意义(1)zAxBy 表示与直线 yABxzB在 y 轴上的截距zB成比例的数；(2)z(xa)2(yb)2 区域内动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；(3)zybxa表示区域内动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率3.求解线性规划中含参问题的基
8、本方法(1)首先把不含参数的平面区域确定好；(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围4.解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答题型 1 已知约束条件，求目标函数的最值1.(2019全国卷)若变量 x，y 满足约束条件2x3y60，xy30，y20，则 z3xy 的最大值是_答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z 最小，即 z 最大由xy30，2x3
9、y60，解得x3，y0，即 C 点坐标为(3,0)，故 zmax3309.2.(2019晋城一模)若 x，y 满足约束条件xy20，xy40，y2，则 zx2y24x6y13 的最小值为_答案 12解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，由于 zx2y24x6y13(x2)2(y3)2，故 z 表示可行域内的点A(x，y)与定点 P(2,3)间距离的平方，即 z|PA|2.由图形可得|PA|的最小值即为点 P(2，3)到直线 xy40 的距离 d|234|2 22，所以 zmind212.第 1、2 题易错在不能准确把握目标函数 z 的几何意义而不知如何变形.题型 2 已知目标函数
10、的最值求参数1.(2019华南师大附中一模)已知 a0，x，y 满足约束条件x1，xy3，yax3，若 z2xy 的最小值为 1，则 a()A.12B.13C1D2答案 A解析 由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)由 x1，yax3 得 B(1，2a)当直线 2xyz0 过点 B 时，z2xy 取得最小值，所以 1212a，解得 a12，故选 A.2.已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0，若 zaxy 的最大值为 4，则 a()A.3B2 C2D3答案 B解析 不等式组xy0，xy2，y0在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，若 zaxy 的最大值为 4，则
11、yaxz 截距的最大值为 4.若 a0，当a1 时，x2，y0 是最优解，此时 a2；当a1，即 0a1(舍)故选 B.第 1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线 ya(x3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第 2 题需明确目标函数中 z 与直线 yaxz 截距最值相同，易忽视关于 a 的正负讨论而漏解或错解.题型 3 线性规划的实际应用(2019黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖 4 千克，果汁 18 千克，用时 3 小时；生产一桶乙饮料需要白糖 1 千克，果汁 15 千克，用时 1 小时现库存白糖 10 千克，果汁66 千克，生产一桶甲饮
12、料利润为 200 元，生产一桶乙饮料利润为 100 元，在使用该机器用时不超过 9 小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为_.答案 600解析 设生产甲、乙两种饮料分别为 x 桶、y 桶，利润为 z 元，则得 4xy10，18x15y66，3xy9，x0，y0.即4xy10，6x5y22，3xy9，x0，y0.目标函数 z200 x100y.作出可行域(如图阴影部分所示)当直线 z200 x100y 经过可行域上点 B 时，z 取得最大值解方程组4xy10，6x5y22，得点 B 的坐标(2,2)，故 zmax20021002600.1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合
13、的思想需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得2.在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x，y 是否是整数、是否是非负数等.2 真题自检感悟 PART TWO 1.(2019全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()A.abcBacbC.cabDbca解析 因为 alog20.21,0c0.20.3ca.故选B.答案 B2.(2017全国卷)设 x，y 满足约束
14、条件2x3y30，2x3y30，y30，则 z2xy的最小值是()A.15B9 C1D9答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示将目标函数 z2xy 化为 y2xz，作出直线 y2x，并平移该直线，知当直线 y2xz 经过点 A(6，3)时，z 有最小值，且 zmin2(6)315.故选 A.3.(2017天津高考)已知函数 f(x)x2x3，x1，x2x，x1.设 aR，若关于x 的不等式 f(x)x2a 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是()A.4716，2B.4716，3916C.2 3，2 D.2 3，3916答案 A解析 关于 x 的不等式 f(x)x2a 在 R 上
15、恒成立等价于f(x)ax2f(x)，即f(x)x2af(x)x2在 R 上恒成立，令 g(x)f(x)x2.当 x1 时，g(x)(x2x3)x2x2x23x1424716，当 x14时，g(x)max4716；当 x1 时，g(x)x2x x23x2 2x 2 3，当且仅当3x2 2x，且 x1，即 x2 33 时，“”成立，故 g(x)max2 3.综上，g(x)max4716.令 h(x)f(x)x2，当 x1 时，h(x)x2x3x2x23x2 3x3423916，当 x34时，h(x)min3916；当 x1 时，h(x)x2xx2x22x2，当且仅当x22x，且 x1，即 x2 时
16、，“”成立，故 h(x)min2.综上，h(x)min2.故 a 的取值范围为4716，2.故选 A.4.(2018天津高考)已知 a，bR，且 a3b60，则 2a 18b的最小值为_答案 14解析 由 a3b60 可知 a3b6，且 2a 18b2a23b，因为对于任意 x,2x0 恒成立，结合均值不等式的结论可得，2a23b2 2a23b2 2614.当且仅当2a23b，a3b6，即a3，b1时等号成立综上可得 2a 18b的最小值为14.3 专题作业 PART THREE 一、选择题1.(2019北京高考)若 x，y 满足|x|1y，且 y1，则 3xy 的最大值为()A.7B1 C5
17、D7答案 C解析 由|x|1y，且 y1，得xy10，xy10，y1.作出可行域如图阴影部分所示设 z3xy，则 y3xz.作直线 l0：y3x，并进行平移显然当 l0 过点 A(2，1)时，z 取最大值，zmax3215.故选 C.2.不等式 x12x10 的解集为()A.12，1B.12，1C.，12 1，)D.，12 1，)答案 A解析 x12x10 x12x10，2x10，解得12x1，x12，即12b0 且 ab1，a2abb2，则 a1,0b2，012a12，则 b2aablog2(ab)，b2alog2(ab)0，b0，并且1a，12，1b成等差数列，则 a9b 的最小值为()A
18、.16B9 C5D4答案 A解析 1a，12，1b成等差数列，1a1b1.a9b(a9b)1a1b 10ab9ba 102ab9ba 16，当且仅当ab9ba 且1a1b1，即 a4，b43时等号成立a9b 的最小值为 16，故选 A.5.已知函数 f(x)xax2 的值域为(，0)(4，)，则 a 的值是()A.12 B.32 C1D2解析 由题意可得 a0，当 x0 时，f(x)xax22 a2，当且仅当 x a时取等号；当 xbcBbacC.cbaDcab解析 由题意结合对数函数的性质可知，alog2e1，bln 21log2e(0,1)，clog1213log23log2e，据此可得，
19、cab.故选 D.答案 D7.已知 x，y0 且 x4y1，则1x1y的最小值为()A.8B9 C10 D11答案 B解析 x，y0 且 x4y1，1x1y(x4y)1x1y 54yxxy524yxxy549，当且仅当 4yxxy即x13，y16或x1，y12(舍去)时等号成立故选 B.8.(2019华大新高考联盟模拟)若实数 x，y 满足不等式组 x2y10，yx，x0，则 x2y2 的取值范围是()A.14，2B0,2 C.12，2D0，2答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x2y2 的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然 O 点为最小值点，而 A(1,1)为最大值
20、点，故 x2y2 的取值范围是0,2故选 B.9.若 x，y 满足约束条件x10，xy0，xy40，则yx的最大值为()A.1B1 C3D0答案 C解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为 3.故选 C.10.若直线 l：kxy10 上不存在满足不等式组xy0，xy20，x4y40的点(x，y)，则实数 k 的取值范围为()A.(，074，B.0，74C.(，0)74，D.0，74答案 D解析 实数 x，y 满足xy0，xy20，x4y40，对应的可行域如图中阴影部分：直线 l：kx
21、y10 可化为 ykx1，故直线 l 过定点 C(0,1)，由图可知，当直线 l 过xy0，xy20 的交点 A(1,1)时，k0；当直线 l 过xy0，x4y40的交点 B43，43 时，k74.由此可知当 0k1 且 b1.1a1b1 可变形为abab1，abab，abab0，(a1)(b1)1，a1 1b1，a10，1a1 9b1 1a19(a1)21a19a16，当且仅当 1a19(a1)，即 a43时取“”由于a1，故a23舍去，1a1 9b1的最小值为 6.故选 C.12.(2019太原模拟)已知正数 a，b 满足1a9b1，若不等式 abx24x18m 对任意实数 x 恒成立，则
22、实数 m 的取值范围是()A.3，)B(，3C.(，6 D6，)答案 D解析 a0，b0，且1a9b1，ab(ab)1a9b 10ba9ab102ba9ab 16，当且仅当ba9ab，即 a4，b12 时等号成立，所以(ab)min16.若不等式 abx24x18m 对任意实数 x 恒成立，则x24x18m16，即 mx24x2 对任意实数 x 恒成立，x24x2(x2)266，m6.实数 m 的取值范围是6，)故选 D.二、填空题13.已知实数 x，y 满足y1，y2x1，xym，如果目标函数 zxy 的最小值为1，则实数 m 等于_答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(
23、含边界)，联立直线方程y2x1，yxm，可得交点坐标为 Am13，2m13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，所以m132m131，解得 m5.14.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_答案 30解析 一年的总运费为 6600 x 3600 x(万元)一年的总存储费用为 4x 万元总运费与总存储费用的和为3600 x4x 万元因为3600 x4x2 3600 x4x240，当且仅当3600 x4x，即 x30 时取得等号，所以当
24、x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小.15.(2019衡水中学检测)设满足xy6，xy2，x0，y0的实数 x，y 所在的平面区域为，则 的外接圆方程是_答案(x1)2(y3)210解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示则区域 是四边形 ABCO(含内部及边界)易知 BCAB，则外接圆的圆心为 AC 的中点，又 A(0,6)，C(2,0)，则该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径 r12|AC|10.故所求圆的方程为(x1)2(y3)210.16若实数 x，y 满足 x2y21，则|2xy2|6x3y|的最小值是_答案 3解析 x2y21 表示圆 x2y21 及其内部，易得直线 6x3y0 与圆相离，故|6x3y|6x3y，当 2xy20 时，|2xy2|6x3y|x2y4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数 zx2y4，则可知当 x35，y45时，zmin3，当 2xy20 时，|2xy2|6x3y|83x4y，可行域为大的弓形内部，目标函数 z83x4y，同理可知当x35，y45时，zmin3，综上所述，(|2xy2|6x3y|)min3.本课结束