1、基础诊断考点突破第7讲 双曲线基础诊断考点突破最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)基础诊断考点突破知 识 梳 理1双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作定点F1，F2叫作双曲线的，两个焦点之间的距离叫作双曲线的集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若时，则集合P为双曲线；(2)若ac时，则集合P为；(3)若时，则集合P为空集双曲线焦点焦距ac基础诊断考点突破2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b
2、21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图 形 基础诊断考点突破范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx离心率e ca，e(1，)性 质实虚轴线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系c2 a2b2坐标轴原点基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，
3、4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线()(3)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(4)双曲线方程 x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()基础诊断考点突破解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部(3)当 m0，n0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m0，n0时则表示焦点在 y 轴上的
4、双曲线答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破2(2016全国卷)已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()A(1,3)B(1，3)C(0,3)D(0，3)解析 方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知 c2(m2n)(3m2n)4m2(其中 c 是半焦距)，焦距 2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故选 A.答案 A基础诊断考点突破3(2015湖南卷)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.73 B.
5、54 C.43 D.53解析 双曲线x2a2y2b21 的两条渐近线方程为 ybax，则点(3，4)在直线 ybax 上，即43ba，所以 4a3b，即ba43，所以 e1b2a253.故选 D.答案 D基础诊断考点突破4(2015全国卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_解析 根据渐近线方程为 x2y0，可设双曲线方程为 x24y2(0)因为双曲线过点(4，3)，所以 424(3)2，即 4.故双曲线的标准方程为x24y21.答案 x24y21基础诊断考点突破5(教材改编)经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析 设双曲线的
6、方程为：x2y2(0)，把点 A(3，1)代入，得 8，故所求方程为x28y281.答案 x28y281基础诊断考点突破考点一 双曲线的定义及其应用 【例 1】(1)(2017郑州模拟)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若F1AB 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2()A12 2B42 2C52 2D32 2(2)(2015全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y281 的右焦点，P是 C 左支上一点，A(0,6 6)，当APF 周长最小时，该三角形的面积为_基础诊断考点突破解析(1
7、)如图所示，因为|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，|BF1|AF2|BF2|，所以|AF2|2a，|AF1|4a.所以|BF1|2 2a，所以|BF2|2 2a2a.因为|F1F2|2|BF1|2|BF2|2，所以(2c)2(2 2a)2(2 2a2a)2，所以 e252 2.基础诊断考点突破(2)设左焦点为 F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF 的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF 周长最小即为|AP|PF1|最小，当 A，P，F1 在一条直线时最小，过 AF1 的直线方程为 x3 y6 61.与 x2y281 联立，解得 P 点坐
8、标为(2,2 6)，此时 SSAF1FSF1PF12 6.答案(1)C(2)12 6基础诊断考点突破规律方法“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用(2)技巧：经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系提醒：利用双曲线的定义解决问题，要注意三点(1)距离之差的绝对值(2)2a|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置.基础诊断考点突破【训练 1】(1)如果双曲线x24y2121 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么点 P 到它的左焦点的距离是()A4 B12C4 或 12 D不确
9、定(2)(2016九江模拟)已知点 P 为双曲线x216y291 右支上一点，点F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，M 为PF1F2 的内心，若 SPMF1SPMF28，则MF1F2 的面积为()A2 7 B10 C8 D6基础诊断考点突破解析(1)由双曲线方程，得 a2，c4.设 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a84，|PF1|12 或|PF1|4.(2)设内切圆的半径为 R，a4，b3，c5，因为 SPMF1SPMF28，所以12(|PF1|PF2|)R8，即 aR8，所以 R2，所以 SMF1F2122cR10.答案(
10、1)C(2)B基础诊断考点突破考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究)命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例 21】(2015全国卷)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点，若MF1 MF2 0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为()A.x243y24 1 B.x244y23 1C.x24y241 D.x24y2121基础诊断考点突破解析 由双曲线x24y2b21(b0)知其渐近线方程为 yb2x，又圆的方程为 x2y24，不妨设渐近线
11、与圆在第一象限的交点为 B，将 yb2x 代入方程式，可得点 B44b2，2b4b2.基础诊断考点突破由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为84b2，4b4b2，故84b4b22b，得 b212.故双曲线的方程为x24y2121.答案 D基础诊断考点突破思想方法1与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2y2b2t(t0)2已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2y2b20就是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线方程基础诊断考点突破易错防范1双曲线方程中 c2a2b2，说明双曲线方程中 c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆2求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错3双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.基础诊断考点突破4直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点
