1、3.2 等差数列巩固夯实基础 一、自主梳理 1.若数列an从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列an叫做等差数列. 2.等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d,它是关于n的一次函数,且一次项的系数为d. 3.等差数列an的前n项和Sn=na1+d,它是关于n的二次函数,但缺少常数项. 4.若a、b、c成等差数列,则b叫a与b的等差中项,且b=. 二、点击双基1.(2006山东潍坊检测)等差数列an中,a1+a2+a50=200,a51+a52+a100=2 700,则公差d等于( )A.-1 B.1 C.5 D.50解析:由a1+a2+a50=50， 得50a50-(
2、1+2+3+49)d=200. 由a51+a52+a100=50， 得50a50+(1+2+50)d=2 700. -得2 500d=2 500. d=1.故选择B.答案:B2.(经典回放) 已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|等于( )A.1 B. C. D.解析:设4个根分别为x1、x2、x3、x4,则x1+x2=2,x3+x4=2,由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为,m=,n=. |m-n|=.答案:C3.(2005全国高考卷)如果数列an是等差数列,则( )A
3、.a1+a8a4+a5 D.a1a8=a4a5答案：B4.(2004上海春季高考)在数列an中，a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上，则an=_.解析:将点代入直线方程得-=,由定义知是以为首项，以为公差的等差数列，故=n,即an=3n2.答案:3n2诱思实例点拨【例1】 已知an为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.剖析:方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解:设an的首项为a1,公差为d，则 解得 S110=110a1+110109d=-110.讲评:解决等差(比
4、）数列的问题时，通常考虑两类方法:(1)基本量法，即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程；(2)巧妙运用等差(比）数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).一般地，运用数列的性质，可化繁为简.链接拓展 试用等差数列关于和的性质求解此题.【例2】 设an是等差数列,证明以bn=(nN*)为通项公式的数列bn是等差数列.证法一:设等差数列an的公差是d(常数), bn-bn-1=- = = =(an-an-1) =d(常数),其中n2. bn是等差数列.证法二:等差数列an的前n项和Sn=na1+d, bn=na1+d =a1+=n+(a1-). bn是等差数列.讲评:判断或证明数列
5、是等差数列的方法有: (1)定义法:an+1-an=d(常数)(nN*)an是等差数列; (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列; (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(nN*)an是等差数列; (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(nN*)an是等差数列.【例3】 已知数列an的前n项和Sn=12n-n2,求数列|an|的前n项和Tn.剖析:由Sn=12n-n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数(nN*)，可知an为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.解:当n=1时，a1=S1=12-12=11;
6、当n2时，an=Sn-Sn-1=12n-n2-12(n-1)-(n-1)2=13-2n. n=1时适合上式, an的通项公式为an=13-2n. 由an=13-2n0,得n， 即当1n6(nN*)时,an0;当n7时，an0. (1)当1n6(nN*)时， Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=12n-n2. (2)当n7(nN*)时， Tn=|a1|+|a2|+|an| =(a1+a2+a6)-(a7+a8+an) =-(a1+a2+an)+2(a1+a6) =-Sn+2S6=n2-12n+72. Tn=讲评:此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成an的求和问题.链接拓展 若此题的Sn=n2-12n，那又该怎么求Tn呢？ 答案:Tn=