1、13.3 空间图形的表面积和体积 13.3.1 空间图形的表面积 第13章 立体几何初步 学 习 任 务核 心 素 养 1了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征(重点)2了解柱、锥、台的表面积的计算公式(易错点)3会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积(重点、难点)1通过对柱、锥、台的侧面展开，培养直观想象素养 2通过利用柱、锥、台的侧面积和表面积计算公式，培养数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2 1在下图中，哪些图形是空间图形的展开图？2下图中分别是哪些空间图形的侧面展开图？知识点 1 几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面_的棱柱叫作直棱柱(2)正棱
2、柱：底面为_的直棱柱叫作正棱柱(3)正棱锥：一个棱锥的底面是_，并且顶点在底面的射影是_，那么称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的_都相等，侧面均为全等的_(4)正棱台：_被平行于底面的平面所截，_和_之间的部分叫作正棱台 垂直正多边形正多边形底面中心侧棱长等腰三角形正棱锥截面底面1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)棱长都相等的长方体是正方体()(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱()(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱()(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱()答案(1)(2)(3)(4)知识点 2 几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积空间图形直观图侧面
3、展开图侧面积 直(正)棱柱S 直(正)棱柱侧_ ch空间图形直观图侧面展开图侧面积 正棱锥S 正棱锥侧_ 12ch空间图形直观图侧面展开图侧面积 正棱台S 正棱台侧_12(cc)h空间图形直观图侧面展开图侧面积 圆柱S 圆柱侧_ cl2rl空间图形直观图侧面展开图侧面积 圆锥S 圆锥侧_rl12cl空间图形直观图侧面展开图侧面积 圆台S 圆台侧_(rr)l12(cc)l圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？提示 S 圆柱侧2rlrr S 圆台侧(rr)lr0 S 圆锥侧rl 2正三棱锥的底面边长为 a，高为 33 a，则此棱锥的侧面积为_154 a2 如图，在正三棱锥 S-ABC 中，过点S
4、 作 SO平面 ABC 于 O 点，则 O 为ABC 的中心，连接 AO 并延长与 BC 相交于点 M，连接 SM，SM 即 为 斜 高 h，在 RtSMO 中，h 33 a236 a2 156 a，所以侧面积 S312 156 aa 154 a2 3以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_ 2 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径 r1，高 h1，所以侧面积 S2rh2 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积【例 1】正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3 cm，求它的表面积
5、由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积.解 如图，设 PO3(cm)，PE 是斜高，S 侧2S 底，412BCPE2BC2 BCPE 在 RtPOE 中，PO3(cm)，OE12BC12PE 9PE22PE2，PE2 3(cm)S 底BC2PE2(2 3)212(cm2)S 侧2S 底21224(cm2)S 表S 底S 侧122436(cm2)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.跟进训练 1已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm的正三角形，侧
6、面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高 解 如图所示，在三棱台 ABC-ABC中，O，O 分别为上、下底面的中心，D，D分别是 BC，BC的中点，则 DD是等腰梯形 BCCB的高，所以 S 侧312(2030)DD75DD(cm2)又 AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上S 下 34(202302)325 3(cm2)由 S 侧S 上S 下，得 75DD325 3，所以 DD1333(cm)，又因为 OD 36 2010 33(cm)，OD 36 305 3(cm)，所以棱台的高 hOO DD2ODOD2 13 3325 310 332 4
7、3(cm)类型 2 圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积【例 2】已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R若它的内接圆柱的底面半径为34R，求该圆柱的全面积 解 设圆柱底面半径为 r，高为 h，由题意知 r34R，3Rh3R rR，h34R，S 圆柱全2r22rh234R2234R294R2 1圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键 2解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解 跟进训练 2圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180，那么圆台的表面积是
8、多少？解 如图所示，设圆台的上底面周长为 c，因为扇环的圆心角是 180，故 cSA210，所以 SA20(cm)，同理可得 SB40(cm)，所以 ABSBSA20(cm)，所以 S 表面积S 侧S 上S 下(r1r2)ABr21r22(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为 1 100 cm2 类型 3 空间图形侧面积和全面积的实际应用【例 3】用油漆涂 100 个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为 30 cm，桶底直径为 25 cm，母线长是 27.5 cm，已知每平方米需要油漆 150 g，共需要多少油漆？(精确到 0.1 kg)解 每个水桶需要涂油漆的
9、面积为 S(S 桶底S 侧)2 0.25220.252 0.2750.32 0.275 2 0.182 5(m2)，因此 100 个水桶需要油漆 1000.182 50.158.6(kg)对于有关空间图形侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题 跟进训练 3一个正三棱台的两底面的边长分别为 8 cm、18 cm，侧棱长是 13 cm，求它的全面积 解 上底面周长为 c3824(cm)，下底面周长 c31854(cm)，斜高 h1321882212(cm)，所以 S 正棱台侧12(cc)h12(2454)12468(cm2)，S 上底面 34 8216
10、3(cm2)，S 下底面 34 18281 3(cm2)，所以正三棱台的全面积为 S46816 381 346897 3 cm2当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于()A42 B51 C58 D67 D S圆台表S圆台侧S上底S下底(34)6324267 1 2 3 4 5 2在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40 cm，母线长最短 50 cm，最长 80 cm，则斜截圆柱的侧面面积 S()A2 600 cm2B5 200 cm2 C2 600 cm2D5 200 cm2 1 2 3 4 5 C 几何体的
11、50 cm到80 cm处的截去的部分的面积和余下的面积相等，将几何体侧面展开，上部分面积为302 40，下部分的面积为 5040，由此可知，斜截圆柱的侧面面积 S5040302 402 600，故选 C 1 2 3 4 5 3圆锥的母线长是 4，侧面积是 4，则该圆锥的高为()A 15 B4 C3 D2 A 设圆锥的母线长 l4，底面半径为 r，高为 h，则 rl4，解得 r1，所以 h l2r2 4212 15故选 A 1 2 3 4 5 4一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_ 4S 设圆柱的底面半径为 R，则 SR2，RS，底面周长c2R故圆柱的侧面积为
12、 S 圆柱侧c2(2R)242S4S 5 1 2 3 4 5一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为 2.7 m，侧棱长为 2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)5 1 2 3 4 解 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正四棱锥的斜高 在 RtSAE 中，SA2.3 m，AE1.35 m，所以 SE 2.321.3521.86(m)，而底面周长42.710.8(m)，所以 S 棱锥侧1210.81.8610.0(m2)故需要油毡纸约 10.0 m2 回顾本节知识，自我完成以下问题：1空间几何体的侧面展开图与侧面积之间存在什么关系？提示 相等 2圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间存在怎样的联系？提示 3旋转体的表面积问题通常借助哪些量求解？在求解时常化归到哪些图形中？提示 旋转体的表面积问题常借助底面半径、母线长及高求解，求解时常借助轴截面化归到等腰三角形、矩形或等腰梯形中求解 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!