1、13.2 基本图形位置关系 13.2.2 空间两条直线的位置关系 第13章 立体几何初步 学 习 任 务核 心 素 养 1会判断空间中直线与直线的位置关系(重点)2能应用基本事实 4 和等角定理解决简单的立体几何问题(难点)3了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角(难点)1通过对空间两条直线位置关系和异面直线概念的学习，培养直观想象素养 2通过计算异面直线所成的角，培养数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2知识点3 在平面几何中，两条直线的位置关系有哪些？观察教室中的墙角线、日光灯所在的直线，说说空间两条直线有哪些位置关系？在空间，平行于同一条直线的两
2、条直线仍然互相平行么？如何求没有公共点且不共面的直线所成的角？知识点 1 空间两条直线的位置关系 一个没有没有1如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_；(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_；(3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_；(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_(1)平 行 (2)异 面 (3)相 交 (4)异 面 (1)在 长 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，A1D1BC，A1D1BC，所以四边形 A1BCD1 为平行四边形，所以 A1BD1C(2)A1B平面 BB1CB，BB1C，所
3、以直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是异面(3)直线 D1D 与直线 D1C 相交于点 D1(4)AB平面 BB1CB，BB1C，所以直线 AB 与直线 B1C的位置关系是异面 知识点 2 基本事实 4 及等角定理(1)基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线_ 符号表示：abbc ac(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别_并且_相同，那么这两个角_ 平行平行方向相等2已知 ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR 等于_ 30或 150 ABC 的两边与PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以PQR30或 150 知识点 3 异面直线的判定及其所成的角
4、(1)异面直线的判定定理 定理文字语言符号表示图形语言 异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线_，则直线 l 与 A B是异面直线若 l，A，B，Bl不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？提示(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交，也不平行(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有 a，b，即 a、b 分别在两个不同的平面内，但是因为 abO，所以 a 与 b 不是异面直线(2)异面直线所成的角 定义：a 与 b 是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 aa，bb，我们把直线 a和 b
5、所成的_(或_)叫作异面直线 a，b 所成的角或夹角 异面直线所成的角 的取值范围：_ 当 2时，a 与 b 互相垂直，记作_ 锐角直角090ab3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)如果 ab，bc，则 ac()(2)如果 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 也是异面直线()(3)如果 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 也相交()(4)如果 a，b 共面，b，c 共面，则 a，c 也共面()答案(1)(2)(3)(4)4已知 a，b 是异面直线，直线 c直线 a，则 c 与 b 的位置关系是_相交或异面 a，b 是异面直线，直线 c直线 a，因而 c 不平行于
6、b，若 cb，则 ab，与已知矛盾，因而 c 不平行于 b，即 c 与 b相交或异面合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 空间中直线的位置关系【例 1】(1)下列命题中正确的有_(填序号)两条直线无公共点，则这两条直线平行；两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线(2)a，b，c 是空间中三条直线，给出下列说法：若 ab，bc，则 ac；ab 是指直线 a，b 在同一平面内且没有公共点；若 a，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行 其中正确的有_(
7、填序号)(1)(2)(1)对于，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此不正确；对于，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以正确；对于，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此不正确；对于，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此不正确(2)由基本事实 4 知正确；由平行线的定义知正确；若 l，a，b，al，bl，则 ab，错误 空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面.跟进训练 1如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1
8、中，判断下列直线的位置关系：直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_；直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_；直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_；直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_ 平行 异面 相交 异面 直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点 A1，B，B1 在一个平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线A1B 与直线 B1C 异面同理，直线 AB 与直线 B1C 异面，所以都应该填“异面”；直线 D1D 与直线 D1C 显然相交于点 D1，所以应该填“相交”类型 2 基本事实
9、 4 与等角定理的应用【例 2】(对 接 教 材 P159 例 2)如 图 所 示，在 正 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1 分别为棱 AD，AB，B1C1，C1D1的中点求证：EA1FE1CF1 证明 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，取 A1B1 的中点 M，连接 BM，MF1，则 BFA1M12AB 又 BFA1M，四 边 形 A1FBM 为 平 行 四 边 形，A1FBM 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1MC1B1 而 C1B1BC，F1MBC，且 F1MBC 四边形 F1MBC 为平行四边形，BMF1C 又 BMA1
10、F，A1FCF1 同理取 A1D1 的中点 N，连接 DN，E1N，则 A1NDE，四边形 A1NDE 为平行四边形，A1EDN 又 E1NCD，且 E1NCD，四边形 E1NDC 为平行四边形，DNCE1，A1ECE1 EA1F 与E1CF1 的两边分别对应平行 即 A1ECE1，A1FCF1，且EA1F 与E1CF1 均为锐角，EA1FE1CF1 运用基本事实 4 的关键是寻找“中间量”即第三条直线.证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现.跟进训练 2如图，已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD，AD 的中点(1)
11、求证：四边形 MNA1C1 是梯形；(2)求证：DNMD1A1C1 证明(1)在ADC 中，M，N 分别是 CD，AD 的中点，MN 是ADC 的中位线 MN12AC 由正方体性质知，ACA1C1，MN12A1C1，即 MNA1C1 四边形 MNA1C1 是梯形(2)由(1)可知 MNA1C1，又因为 NDA1D1，而DNM 与D1A1C1 均是直角三角形的锐角，DNMD1A1C1 类型 3 求异面直线所成的角【例 3】如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点，求异面直线 DB1与 EF 所成角的大小 先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形
12、中求解.解 法一：如图(1)，连接 A1C1，B1D1，并设它们相交于点 O，取 DD1 的中点 G，连接 OG，A1G，C1G，则 OGB1D，EFA1C1，GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角(1)GA1GC1，O 为 A1C1 的中点GOA1C1异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90法二：如图(2)，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，HF，则 HEDB1，且 HE12DB1(2)于是HEF 为异面直线 DB1与 EF 所成的角或补角设 AA11则 EF 22，HE 32，取 A1D1 的中点 I，连接 IF，IH，则 HIIF，HF2HI2IF2
13、54，HF2EF2HE2HEF90，异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接 DQ，B1Q，则 B1QEF (3)于是DB1Q 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角 设 AA11，则 DQ 221 5，B1D 121212 3，B1Q 1212 2，所以 B1D2B1Q2DQ2，从而异面直线 DB1 与 EF所成的角为 90 求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数(4
14、)若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角 跟进训练 3 如 图，在 底 面 为 正 方 形，侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱ABCD-A1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为_45 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角 连接 A1C1，由 AB1，AA12，易得 A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1A1B2BC21A1C212A1BBC145，即异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为45 当
15、堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是()A平行B相交 C异面D以上皆有可能 答案 D 1 2 3 4 5 2如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相等，顺次连接各边中点 E，F，G，H，则四边形 EFGH 一定是()A矩形 B正方形C菱形 D梯形 1 2 3 4 5 C 利用 E，F，G，H 分别为各边中点，可得四边形 EFGH 是平行四边形又由对角线 AC，BD 相等，可得四边形 EFGH 一定是菱形故选 C 1 2 3 4 5 3在各棱长均相等的直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 M 是棱 BB1的中点，N 是棱 AC
16、的中点，则异面直线 A1M 与 BN 所成角的正切值为()A 3 B1 C 63 D 22 1 2 3 4 5 C 如图，取 AA1 的中点 P，连接 PN，PB，则由直三棱柱的性质可知 A1MPB，则PBN 为异面直线 A1M 与 BN 所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为 2，则 PN 2，PB 5，BN 3，所以 PN2BN2PB2，所以PNB90，在 RtPBN 中，tanPBNPNBN 23 63，故选C 1 2 3 4 5 4空间中有一个A 的两边和另一个B 的两边分别平行，A70，则B_ 70或 110 A 的两边和B 的两边分别平行，AB 或AB180，又A70，B70或 11
17、0 5 1 2 3 4 5已知棱长为 a 的正方体 ABCD-ABCD中，M，N 分别为 CD，AD 的中点，则 MN 与 AC的位置关系是_ 平行 如图所示，MN12AC，又ACAC，MN12AC 回顾本节知识，自我完成以下问题：1空间任意两条直线有几种位置关系？提示 相交、平行和异面 2如何判定两条直线是异面直线？提示(1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 3求异面直线所成的角常分几个步骤？提示 四个，即“一作”“二证”“三求”“四结论”点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!