1、北京2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编14：导数一、选择题 （2013届北京海滨一模文）已知曲线在点处的切线经过点,则的值为（）ABCD【答案】B 二、填空题 （2013北京昌平二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题:函数的对称中心坐标为_;计算=_.【答案】 ,2012 ; （2013北京房山二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若
2、方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若,则该函数的对称中心为_,计算_. 【答案】 三、解答题 （北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）已知函数f(x)=ax-1-1n x,aR.(I)讨论函数f(x)的单调区间: (II)若函数f(x)在x=l处取得极值,对x(0,+),f(x)bx-2恒成立,求实数b的取值范围.【答案】 （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）已知函数,其中.()若曲线在点处的切线的斜率为,求的值;()求函数的单调区间.【答案】解:()由可知,函数定义域
3、为, 且.由题意, 解得 (). 令,得,. (1)当时,令,得;令,得. 则函数的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)当,即时,令,得或. 则函数的单调递增区间为,. 令,得. 则函数的单调递减区间为. (3)当,即时,恒成立,则函数的单调递增区间为. (4)当,即时,令,得或, 则函数的单调递增区间为,. 令,得. 则函数的单调递减区间为 （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,其中为正实数,是的一个极值点.()求的值;()当时,求函数在上的最小值.【答案】解: ()因为是函数的一个极值点,所以 因此,解得 经检验,当时,是的一个极值点,故所求的值为 ()由()可知, 令,
4、得 与的变化情况如下:+0-0+所以,的单调递增区间是 单调递减区间是 当时,在上单调递减,在上单调递增 所以在上的最小值为 当时,在上单调递增, 所以在上的最小值为 （2013届北京大兴区一模文科）已知函数.(I)求函数的单调区间;()当时,求函数在区间上的最小值.【答案】解:定义域为R ()当时,则的单调增区间为 当时,解得, ,解得, , 则的单调增区间为,的单调减区间为 当时,解得, ,解得, , 则的单调增区间为,的单调减区间为 () 当时, 即 当时, 在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间-2,0上的最小值为 当时, 即 当时, 在上是增函数, 则函数在区间-2,0上的最小值为
5、 综上: 当时, 在区间-2,0上最小值为 当时, 在区间-2,0上最小值为 （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,其中为常数,函数的图象与坐标轴交点处的切线为,函数的图象与直线交点处的切线为,且.()若对任意的,不等式成立,求实数的取值范围.()对于函数和公共定义域内的任意实数.我们把 的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.【答案】解()函数的图象与坐标轴的交点为, 又 函数的图象与直线的交点为, 又 由题意可知,又,所以 不等式可化为 即 令,则, 又时, 故在上是减函数,即在上是减函数 因此,在对任意的,不等式成立, 只需 所以实数的取值范
6、围是 ()证明:和的公共定义域为,由()可知, 令,则,在上是增函数 故,即 令,则, 当时,;当时, 有最大值,因此 由得,即 又由得 由得 故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2 （2013届北京市延庆县一模数学文）已知函数.()当时,求曲线在点的切线方程;()讨论函数的单调性.【答案】解:函数的定义域为, () 当时, 所以曲线在点的切线方程为 (), (1)当时,在定义域为上单调递增, (2)当时,令,得(舍去), 当变化时,的变化情况如下: 此时,在区间单调递减,在区间上单调递增; (3)当时,令,得,(舍去), 当变化时,的变化情况如下: 此时,在区间单调递减,在区间上单调递增
7、（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知函数. (1)当时,若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,求实数的值;(II)若,都有,求实数的取值范围.【答案】解:(I)当因为, 若函数在点处的切线与函数在点处的切线平行, 所以,解得 此时在点处的切线为 在点 处的切线为 所以 (II)若,都有 记, 只要在上的最小值大于等于0 则随的变化情况如下表:0极大值 当时,函数在上单调递减,为最小值 所以,得 所以 当时,函数在上单调递减,在上单调递增 , 为最小值,所以,得 所以 综上, （2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知函数在处取得极值.()求的值; ()求函数在上的最小值;()
8、求证:对任意,都有. 【答案】() 由已知得即 解得: 当时,在处函数取得极小值,所以 (), .-0+减增所以函数在递减,在递增 当时,在单调递增, 当时, 在单调递减,在单调递增,. 当时, 在单调递减, 综上 在上的最小值 ()由()知, . 令 得 因为 所以 所以,对任意,都有 （2013北京朝阳二模数学文科试题）已知函数,().()求函数的单调区间;()求证:当时,对于任意,总有成立.【答案】解:()函数的定义域为,. 当时, 当变化时,的变化情况如下表:00当时, 当变化时,的变化情况如下表:00综上所述, 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,; 当时,的单调递增区间为,单调
9、递减区间为. ()由()可知,当时, 在上单调递增,;在上单调递减,且. 所以时,. 因为,所以,令,得. 当时,由,得;由,得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减. 所以. 因为, 所以对于任意,总有. 当时,在上恒成立, 所以函数在上单调递增,. 所以对于任意,仍有. 综上所述,对于任意,总有 （2013届北京门头沟区一模文科数学）已知函数,其中.()在处的切线与轴平行,求的值;()求的单调区间.【答案】解:() 依题意,由,得 经检验, 符合题意 () 当时,. 故的单调减区间为,;无单调增区间 当时,. 令,得, 和的情况如下:故的单调减区间为,;单调增区间为. 当时,的定义域为.
10、因为在上恒成立, 故的单调减区间为,;无单调增区间 （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知函数 .()若直线与曲线相切,切点是P(2,0),求直线的方程; ()讨论的单调性.【答案】解:()P(2,0)在函数f(x)的图象上,f(2)=0 ,即, f(x)=, , 直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0 ()的定义域为, , 由得, 当时,在(0,+)上恒成立,当且仅当x=1时, 的单调递增区间是(0,+); 当a=0时, 的单调递增区间是(1,+),的单调递减区间是(0,1); 当时, 的单调递增区间是(0,a)和(1,+),的单调递减区间是(a,1); 当时, 的单调递增区间是
11、(0,1)和(a,+),的单调递减区间是(1,a). （2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知函数()若在处的切线与直线平行,求的单调区间;()求在区间上的最小值.【答案】解:(I)的定义域为 由在处的切线与直线平行,则 此时令 与的情况如下:()10+所以,的单调递减区间是(),单调递增区间是 (II)由 由及定义域为,令 若在上,在上单调递增,; 若在上,单调递减;在上,单调递增,因此在上,; 若在上,在上单调递减, 综上,当时,当时,当时, （2013届北京丰台区一模文科）已知函数,.(1)设函数,且求a,b的值;(2)当a=2且b=4时,求函数的单调区间,并求该函数在区间(-2,
12、m ()上的最大值.【答案】 已知函数,. (1)设函数,且求a,b的值; (2)当a=2且b=4时,求函数的单调区间,并讨论该函数在区间(-2,m ()上的最大值. 解:()函数h(x)定义域为x|x-a, 则, 因为所以解得,或 ()记(x)= ,则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x-a) , 因为a=2,b=4,所以(x-2), , 令,得,或, 当,或时,当时, 函数的单调递增区间为, 单调递减区间为, 当-2m时,(x)在(-2,m)上单调递增, 其最大值为(m)= , 当m时,(x)在(-2,)上单调递增,在(,-)上单调递减,在(,m)上单调递增,而()=()=, (x)的最
13、大值为 （2013届北京海滨一模文）函数,其中实数为常数.(I) 当时,求函数的单调区间;(II) 若曲线与直线只有一个交点,求实数的取值范围. 【答案】解:(I)因为 当时,令,所以 随的变化情况如下表:00极大值极小值 所以的单调递增区间是, 单调递减区间是 (II)令,所以只有一个零点 因为 当时,所以只有一个零点0 当时,对成立, 所以单调递增,所以只有一个零点 当时,令,解得或 所以随的变化情况如下表:00极大值极小值有且仅有一个零点等价于 即,解得 综上所述,的取值范围是 （2013届房山区一模文科数学）已知函数 . ()当时,求曲线在点处的切线方程;()求函数的单调区间;()若对
14、任意的,都有成立,求a的取值范围. 【答案】()时, 曲线在点处的切线方程 () 当时, 恒成立,函数的递增区间为 当时,令,解得或x( 0, )( ,1)f(x)-+f(x)减增所以函数的递增区间为,递减区间为 ()对任意的,使成立,只需任意的, 当时,在上是增函数, 所以只需 而 所以满足题意; 当时,在上是增函数, 所以只需 而 所以满足题意; 当时,在上是减函数,上是增函数, 所以只需即可 而 从而不满足题意; 综合实数的取值范围为 （2013北京东城高三二模数学文科）已知函数.()求的单调区间;()如果是曲线上的点,且,若以 为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值. 【答案】(共1
15、4分) 解:() ,定义域为, 则. 因为,由得, 由得, 所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为. ()由题意,以为切点的切线的斜率满足 , 所以对恒成立. 又当时, , 所以的最小值为 （2013届北京东城区一模数学文科）已知函数 .()当时,求曲线在点处的切线方程;()讨论的单调性;(III)若存在最大值,且,求的取值范围.【答案】(共14分) 解:()当时,. . 所以. 又, 所以曲线在点处的切线方程是, 即. ()函数的定义域为, . 当时,由知恒成立, 此时在区间上单调递减. 当时,由知恒成立, 此时在区间上单调递增. 当时,由,得,由,得, 此时在区间内单调递增,在区间内单调递
16、减. (III)由()知函数的定义域为, 当或时,在区间上单调,此时函数无最大值. 当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减, 所以当时函数有最大值. 最大值. 因为,所以有,解之得. 所以的取值范围是. （2013届北京西城区一模文科）已知函数,其中.()求的极值;()若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围.【答案】()解:的定义域为, 且 当时,故在上单调递增. 从而没有极大值,也没有极小值 当时,令,得. 和的情况如下: 故的单调减区间为;单调增区间为. 从而的极小值为;没有极大值 ()解:的定义域为,且 当时,在上单调递增,在上单调递减,不合题意. 当时,在上单调递减.
17、 当时,此时在上单调递增,由于在上单调递减,不合题意 当时,此时在上单调递减,由于在上单调递减,符合题意. 综上,的取值范围是 （2013北京西城高三二模数学文科）已知函数,其中.()若,求曲线在点处的切线方程;()求在区间上的最小值.【答案】()解:的定义域为, 且 当时, 所以曲线在点处的切线方程为 , 即 ()解:方程的判别式, 令 ,得 ,或 和的情况如下: 故的单调增区间为,;单调减区间为. 当时,此时在区间上单调递增, 所以在区间上的最小值是 当时,此时在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以在区间上的最小值是 当时,此时在区间上单调递减, 所以在区间上的最小值是 综上,当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是.