1、第14讲 圆锥曲线 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分考情分析 圆锥曲线是高考的重点和热点，选择、填空题主要以考查圆锥曲线定义、标准方程和几何性质(特别是离心率)为主，属于中偏上难度1 热点题型分析 PART ONE 热点 1 圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0；(2)双曲线的标准方程：x2a2y2b21或y2a2x2b21，其中 a0，b0；(3)抛物线的标准方程：x22py，y22px，其中 p0.1.(2019广州测试)已知双曲线 C：x2a2y241(a0)的一条渐近线方程为2x
2、3y0，F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且|PF1|7，则|PF2|()A.1 B13 C4 或 10 D1 或 13答案 D解析 由一条渐近线方程为 2x3y0 和 b2 可得 a3，|F1F2|2 942 13，由点 P 在双曲线 C 上，则|PF1|PF2|6，可得|PF2|1 或13，根据|PF1|7，|PF2|1，|F1F2|2 13或|PF1|7，|PF2|13，|F1F2|2 13均能满足三角形成立的条件故选 D.2.椭圆x29 y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A.21 B21C.1925或 21 D.1925或 21答案 C解析 若
3、 a29，b24k，则 c 5k，由ca45，即 5k345，得 k1925；若 a24k，b29，则 c k5，由ca45，即 k54k45，解得 k21.故选 C.1.运用双曲线定义时，容易忽略距离差的“绝对值”这一条件如第 1题，忽略此条件可能因为|PF1|7,2a6，而直接根据|PF1|PF2|2a，得出|PF2|1，错选 A.因此对于各圆锥曲线的定义，要熟练掌握，特别是双曲线的定义，不要忽略距离差的“绝对值”这一重要信息；除此之外，对于椭圆定义中|PF1|PF2|F1F2|、双曲线定义中|PF1|PF2|0，b0)的渐近线方程为 ybax，双曲线 y2a2x2b21(a0，b0)的渐
4、近线方程为 yabx；同时注意渐近线斜率与离心率 e 的关系1.设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析 解法一：如图，在 RtPF2F1 中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|2ccos304 3c3，|PF2|2ctan302 3c3.|PF1|PF2|2a，即4 3c32 3c32a，可得 3ca.eca 33.故选D.解法二：(特殊值法)在 RtPF2F1 中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|3.e
5、ca2c2a|F1F2|PF1|PF2|33.故选 D.2.(2017全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN60，则 C 的离心率为_答案 2 33解析 如图，取 MN 中点 P，连接 AP，则 APMN，所以MAP30.因为 A(a,0)，M，N 为 ybax 上的点，则|AP|ab|a2b2abc.在 RtPAM 中，cosPAM|AP|AM|，则abbcac 32，所以 eca2 33.3.(2019全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左
6、、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB，F1B F2B 0，则 C 的离心率为_答案 2解析 解法一：由F1A AB，得 A 为 F1B 的中点又 O 为 F1F2 的中点，OABF2.又F1B F2B 0，F1BF290.OF2OB，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2 为等边三角形如图 1 所示，不妨设 B 为c2，32 c.点 B 在直线 ybax 上，ba 3，离心率 eca2.解法二：F1B F2B 0，F1BF290.在 RtF1BF2 中，O 为 F1F2 的中点，
7、|OF2|OB|c.如图 2，作 BHx 轴于 H，由 l1 为双曲线的渐近线，可得|BH|OH|ba，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0)又F1A AB，A 为 F1B 的中点OAF2B，F1OAF1F2B，又F1OABOF2，BOF2F1F2B，ba bca，c2a，离心率 eca2.1.双曲线的渐近线方程是 ybax，还是 yabx，是最容易混淆出错的点如第 2 题，如果将 MN 所在渐近线错写为 yabx，则|AP|a2a2b2.再根据 cosPAM|AP|AM|得到关于 e 的方程 3e43e240，从而形成错解因此双曲线渐近线可
8、以根据双曲线方程进行推导，即对于双曲线x2a2y2b21，令x2a2y2b20，则x2a2y2b2，xayb，即 ybax，而不要死记硬背2.解决有关几何性质问题时，既可以使用曲线方程与点坐标有关的代数运算，也可以选择利用平面图形的几何性质求解二者比较起来，代数运算的计算量较大，出错率较高因此求解此类问题时，要根据题目给出的已知条件，准确画出平面图形，并充分挖掘图形中隐含的几何性质，从而简化计算过程3.求解离心率的值或范围的问题时，要注意不同圆锥曲线的离心率范围不同热点 3 交汇题型解析几何与其他知识相结合，各种题型均有可能出现，要求较高，其中最常见的是与平面向量和不等式结合考查解决此类问题，
9、关键在于能“透过现象看本质”，从而选择相应方法求解交汇点一 与不等式交汇典例 1(2017全国卷)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为()A.16 B14 C12 D10解析 因为 F 为 y24x 的焦点，所以 F(1,0)由题意直线 l1，l2 的斜率均存在，且不为 0，设 l1 的斜率为 k，则 l2 的斜率为1k，故直线 l1，l2 的方程分别为yk(x1)，y1k(x1)由ykx1，y24x，得 k2x2(2k24)xk20.设 A
10、(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k24k2，x1x21，所以|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x21k22k24k22441k2k2.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|41k2k24(1k2)41k211k2 84k21k2 84216，当且仅当 k21k2，即 k1 时，取得等号故选 A.答案 A 解析几何与不等式交汇，主要体现在运用不等式的相关知识，解析或证明几何图形的某些特征交汇点集中在利用不等式的解法求参数范围，或构造函数利用均值不等式求最值等问题上.(2019江西南昌一模)抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2
11、)是抛物线上的两个动点，若 x1x242 33|AB|，则AFB 的最大值为()A.3 B.34 C.56 D.23答案 D解析 因为 x1x242 33|AB|，|AF|BF|x1x24，所以|AF|BF|2 33|AB|，在AFB 中，由余弦定理得：cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|AF|BF|22|AF|BF|AB|22|AF|BF|43|AB|2|AB|22|AF|BF|113|AB|22|AF|BF|1，又|AF|BF|2 33|AB|2|AF|BF|，所以|AF|BF|13|AB|2，则 cosAFB13|AB|22|AF|BF|113|AB|2213|AB
12、|2112，所以AFB 的最大值为23，故选 D.交汇点二 与向量交汇典例 2(2019吉林四平质检)经过椭圆x22y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两点设 O 为坐标原点，则OA OB 等于()A.3 B13C.13或3 D13解析 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan45(x1)，即 yx1.代入椭圆方程x22y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x43.所以两个交点坐标为 A(0，1)，B43，13，所以OA OB(0，1)43，13 13.同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA OB 13.故选 B.答案
13、 B平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理解决此类问题基本思想：一是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；二是考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.设 F1，F2 分别是椭圆x24y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使(OP OF2)PF20(O 为坐标原点)，则F1PF2 的面积是()A.4 B3 C2 D1答案 D解析(OP OF2)PF2(OP F1O)PF2F1P PF20，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则 mn4，m2n212，2mn4，mn2，SF1PF212mn1.2 真题自
14、检感悟 PART TWO 1.(2019全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为()A.x22y21 B.x23y221C.x24y231 D.x25y241答案 B解析 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|32|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点 A 是椭圆的短轴端点，如图不妨设 A(0，b)，由 F2
15、(1,0)，AF2 2F2B，得 B32，b2.由点 B 在椭圆上，得94a2b24b21，得 a23，b2a2c22.椭圆 C 的方程为x23y221.故选 B.2.(2019全国卷)双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为()A.2sin40 B2cos40 C.1sin50D.1cos50答案 D解析 由题意可得batan130，所以 e1b2a2 1tan21301sin2130cos21301|cos130|1cos50.故选 D.3.(2019全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，
16、以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2 交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.2 B.3 C2 D.5答案 A解析 设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|c2.由|OM|2|MP|2|OP|2 得c22c22a2，故ca 2，即 e 2.故选 A.4.(2018全国卷)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率
17、为 36 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23 B.12 C.13 D.14答案 D解析 依题意易知|PF2|F1F2|2c，且 P 在第一象限内，由F1F2P120可得 P 点的坐标为(2c，3c)又因为 kAP 36，即3c2ca 36，所以 a4c，e14，故选 D.3 专题作业 PART THREE 一、选择题1.(2017全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为()A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 由
18、题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d2aba2b2a，解得 a 3b，ba 13，eca a2b2a1ba21132 63.故选 A.2.(2019全国卷)双曲线 C：x24y221 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为()A.3 24 B.3 22 C2 2 D3 2答案 A解析 双曲线x24y221 的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y 22 x，不妨设点 P 在第一象限，由于|PO|PF|，则点 P 的横坐标为 62，纵坐标为 22
19、62 32，即PFO 的底边长为 6，高为 32，所以它的面积为12 6 32 3 24.故选 A.3.(2017全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 52 x，且与椭圆x212y231 有公共焦点，则 C 的方程为()A.x28y2101 B.x24y251C.x25y241 D.x24y231答案 B解析 由题意可得ba 52，c3，又 a2b2c2，解得 a24，b25，则 C 的方程为x24y251，故选 B.4.(2017全国卷)若双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心
20、率为()A.2 B.3 C.2 D.2 33答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为 ybax，因为圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 2212 3.根据点到直线的距离公式得|2b|a2b2 3，解得 b23a2.所以 C 的离心率 ecac2a21b2a22.5.(2019长沙市高三一模)A 是抛物线 y22px(p0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF|4 时，OFA120，则抛物线的准线方程是()A.x1 By1C.x2 Dy2答案 A解析 如图，过 A 作 ABx 轴，AC 垂直于准线，因为OFA120，|AF|4，所以AFB60
21、，|BF|2，根据抛物线定义知|AC|4 且|AC|BF|p，所以 p24 即 p2.即抛物线的准线方程为 x1，故选 A.6.(2019河北武邑中学调研)已知直线 l：yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|2|FB|，则 k 等于()A.13 B.23 C.23 D.2 23答案 D解析 由ykx2，y28x，消去 y 得k2x2(4k28)x4k20，(4k28)216k40，又 k0，解得 0k0，x20，由解得 x14，x21，代入得 k289，0k0，b0)的渐近线方程为 y 7x，则 E 的离心率为()A.2 B.2 147
22、 C2 2 D2 3答案 C解析 由题意，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 y 7x，即ba 7，所以双曲线的离心率为 ecaa2b2a21ba22 2，故选C.8.(2019河北衡水中学模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作圆 x2y2a2 的切线，交双曲线右支于点 M，若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为()A.y 2xBy 3xC.yxDy2x答案 A解析 如图，作 OAF1M 于点 A，F2BF1M 于点 B.因为 F1M 与圆 x2y2a2 相切，F1MF245，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2
23、M|2 2a，|F1B|2b.又点 M 在双曲线上，所以|F1M|F2M|2a2b2 2a2a.整理，得 b 2a.所以ba 2.所以双曲线的渐近线方程为 y 2x.故选 A.9.(2019华南师大附中一模)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，点 F为 E 的左焦点，点 P 为 E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为 Q，且满足|PF|3|FQ|，若|OP|b，则 E 的离心率为()A.2 B.3 C2 D.5答案 B解析 设双曲线的另一个焦点为 F1，连接 F1P，F1Q，因为 P 关于原点的对称点为 Q，所以 F1PFQ 是平行四边形，所以|PF1|FQ|.根据双曲
24、线定义知|PF|PF1|2a，又|PF|3|FQ|3|PF1|，所以|PF1|a，|OP|b，|OF1|c，因为 c2a2b2，所以OPF190.又因为|PQ|2b，|QF1|3a，|PF1|a，所以(3a)2a2(2b)2，整理得 b22a2 即 c23a2，所以 eca 3，故选 B.10.(2019湖北八校二模)设 F 是抛物线 x24y 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则|FA|FB|FC|的值为()A.3 B6 C9 D12答案 B解析 因为FAFBFC0，所以 F 为ABC 的重心，设 A，B，C 三点的纵坐标分别为 y1，y2，y3，则y1y2y33yF1
25、，所以 y1y2y33.由抛物线定义可知|FA|y11，|FB|y21，|FC|y31，所以|FA|FB|FC|y1y2y336，故选 B.11.(2019郑州第三次质量预测)椭圆x25y241 的左焦点为 F，直线 xm与椭圆相交于点 M，N，当FMN 的周长最大时，FMN 的面积是()A.55 B.6 55 C.8 55 D.4 55答案 C解析 设椭圆的右焦点为 F1，由椭圆定义知FMN 的周长为|MN|MF|NF|MN|(2 5|MF1|)(2 5|NF1|)4 5|MN|MF1|NF1|.因为|MF1|NF1|MN|，所以|MN|MF1|NF1|0，当 MN 过 F1 时取等号，即直
26、线 xm 过椭圆的右焦点时，FMN 的周长最大，此时|MN|8 55，|FF1|2，所以 SFMN128 55 28 55，故选 C.12.(2019汕头市一模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F(c,0)，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于 ac，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(，1)(1，)B.(1,0)(0,1)C.(，2)(2，)D.(2，0)(0，2)答案 B解析 如图，因为 ABBD 且 BFAD，所以|BF|2|AF|DF|.因为
27、A(a,0)，F(c,0)，所以 Bc，b2a，则|DF|BF|2|AF|b4a2ca.又因为 D 到直线 BC 的距离即为|DF|，所以b4a2caac，即 b4a2(ca)(ac)，整理得 b4a2b2，所以 k21，解得1k0)，即 x2y241(x0)，故 P 为双曲线 x2y241 右支上一点，且 A，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA|PB|2a2，|PA|224.14.(2017全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_.答案 6解析 如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物
28、线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点 M 为 FN 的中点，PMOF，|MP|12|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.15.(2019四省联考诊断)在平面上给定相异两点 A，B，设 P 点在同一平面上且满足|PA|PB|，当 0 且 1 时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x2a2y2b21(ab0)，A，B 为椭圆的长轴端点，C，D 为椭
29、圆的短轴端点，动点 P 满足|PA|PB|2，PAB 的面积的最大值为163，PCD 的面积的最小值为23，则椭圆的离心率为_答案 32解析 依题意 A(a,0)，B(a,0)，设 P(x，y)，依题意得|PA|2|PB|，即 xa2y22 xa2y2，两边平方化简得x53a 2y243a 2，故椭圆的圆心为5a3，0，半径 r4a3.所以PAB 的最大面积为122a43a163，解得 a2，又因PCD 的最小面积为122b5a3 4a3 ba323，解得 b1.故椭圆的离心率为 e1ba2114 32.16.(2019广东六校联考)已知直线 l：ykxt 与圆 C1：x2(y1)22相交于 A，B 两点，且C1AB 的面积取得最大值，又直线 l 与抛物线 C2：x22y 相交于不同的两点 M，N，则实数 t 的取值范围是_答案(，4)(0，)解析 根据题意得到C1AB 的面积为12r2sin，当角度为直角时面积最大，此时C1AB 为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为 d1，根据点到直线的距离公式得到|1t|1k211k2(1t)2k2t22t，直线 l 与抛物线 C2：x22y 相交于不同的两点 M，N，联立直线和抛物线方程得到 x22kx2t0，只需要此方程有两个不等根即可，所以 4k28t4t216t0，解得 t 的取值范围为(，4)(0，).本课结束
