1、综合法、分析法、反证法、数学归纳法考试要求1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1综合法、分析法内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法实质由因导果执果索因框
2、图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2反证法(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法(2)反证法的证题步骤：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论3数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的
3、所有正整数n都成立上述证明方法叫作数学归纳法利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(4)用反证法证明结论“ab”时，应假设“aQBPQCPQ，只需P2Q2，即2a1322a132，只需a213a42a213a40.因为4240成立，所以PQ成立故选A.
4、4已知数列an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.345n1易得a23，a34，a45，故猜想ann1. 考点一综合法的应用 掌握综合法证明问题的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理典例1设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由题设得(ab
5、c)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为a，b，c均为正数，b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.母题变迁本例的条件不变，证明a2b2c2.证明因为abc1，所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，因为2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以1a2b2c22(a2b2c2)，即a2b2c2.点评：(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2) 应用重要不等式a2b22ab放缩时要注意待证不等式的方向性在A
6、BC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b.证明(1)由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B，因为sin B0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，得ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，即5a3b. 考点二分析法的应用 分析法证明问题的思路及适用范围利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证
7、明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法典例2已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立点评：(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论(2)证明较复杂的问题时，可以采用
8、两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2a2acb2”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证若a，b(1，)，证明.证明要证，只需证()2()2，只需证ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立 考点三反证法的应用 用反证法证明问题的步骤典例3设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾
9、故a2a2与b2b2不可能同时成立点评：(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解(1)设等差数列an的公差为d.由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(nN*)(2)证明：由(1)得bnn，假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则
10、bbpbr.即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0，因为p，q，rN*，所以所以2pr，(pr)20，所以pr，与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列 考点四数学归纳法的应用 (1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法(2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发
11、现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性典例4(2019浙江高考)设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3.数列bn满足：对每个nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记cn，nN*，证明：c1c2cn2，nN*.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a10，d2，an2n2，nN*.Snn2n，nN*.数列bn满足：对每个nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列，(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)，解得bn(SSnSn2)，即bnn2n，nN*.(2)证明：cn，nN*，用数学归纳法证明：当n1时，c102，不等式
12、成立；假设当nk(kN*)时不等式成立，即c1c2ck2，则当nk1时，c1c2ckck122222()2，即nk1时，不等式也成立由得c1c2cn2，nN*.点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想，f(n)g(n)，用数学归纳法证明当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1，则当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)g(k1)由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立