1、9.7 空间向量及其坐标运算(B)巩固夯实基础 一、自主梳理 1.设i、j、k为两两垂直的单位向量,如果=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量的坐标,也叫做点P的坐标. 2.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么ab=(x1x2,y1y2,z1z2), ab=x1x1+y1y2+z1z2,cosa,b=. a=(x1,y1,z1), abx1=x2,y1=y2,z1=z2(b0), abx1x2+y1y2+z1z2=0. 3.设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),则|M1M2|=. 二、点击双基1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a
2、与b为共线向量,则( )A.x=1,y=1 B.x=,y=-C.x=,y=- D.x=-,y=解析:a=(2x,1,3)与b=(1,-2y,9)共线,故有=. x=,y=-.应选C.答案:C2.已知向量a(1，1，0)，b(-1，0，2)，且kab与2a-b互相垂直，则值是( )A.1 B. C. D. 解析:a+b(1，1，0)(-1，0，2)(-1，2)，2a-b2(1，1，0)-(-1，0，2)(3，2，-2). 两向量垂直， 3(-1)2-220.答案:D3.已知点A(-3,-1,-4)关于原点的对称点为A1,点A在xOy平面上的射影为A2,则在y轴正方向上的投影为( )A.2 B.-
3、1 C.1 D.-2解析:A1的坐标为(3,1,4),A2的坐标为(-3,0,-4). =(-6,-1,-8),y轴正方向上的单位向量e=(0,1,0), 投影=e=-1.答案:B4.已知空间三点A(1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则与的夹角的大小是_.解析: =(-2，-1，3)，=(-1，3，-2)，cos,= = =-， =, =120.答案:1205.已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则|的值是_.解析:设点P(x,y,z),则由=2,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z), 即 解得 则|=.答案:诱思实
4、例点拨【例1】已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC的单位法向量.解:设面ABC的法向量n=(x,y,1),则n且n,即n=0,且n=0,即 即 n=(,-1,1),单位法向量n0=(,-,).链接提示 一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把n的某个坐标设为1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解.【例2】在三棱锥SABC中,SAB=SAC=ACB=90,AC=2,BC=,SB=.(1)求证:SCBC;(2)求SC与AB所成角的余弦值.解:如右图,取A为原点,A
5、B、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系,则有 AC=2,BC=,SB=,得B(0,0)、S(0,0,2)、C(2,0), =(2,-23),=(-2,0). (1)=0, SCCB. (2)设SC与AB所成的角为, =(0,0),=4,|=4, cos=,即为所求. 【例3】 如图,在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E、F的坐标;(2)求证:;(3)若A1、E、F、C1四点共面,求证:=+.剖析:(1)从E、F点向x、y轴作垂线; (2)证=0; (3)利用共面向量定
6、理建立向量关系式,进一步获得数量关系式(坐标之间的关系).(1)解:E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明:A1(a,0,a)、C1(0,a,a), =(-x,a,-a), =(a,x-a,-a). =-ax+a(x-a)+a2=0. .(3)证明:A1、E、F、C1四点共面, 、共面. 视与为一组基向量,则存在唯一实数对1、2,使=1+2, 即(-x,a,-a)=1(-a,a,0)+2(0,x,-a)=(-a1,a1+x2,-a2), 解得1=,2=1. 于是=+.讲评:对于存在“墙拐”的图形建系是十分轻松的,但要会求点的坐标,否则向量方法有如空中楼阁.【例4】 如图,在三棱柱A
7、BCA1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2,BB1=3,D为A1C1的中点,E为B1C的中点.(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值;(2)在线段AA1上是否存在点F,使CF平面B1DF?若存在,求出AF的长;若不存在,请说明理由.剖析:(1)注意到直三棱柱中的垂直关系,建立恰当的空间直角坐标系,由向量夹角公式可以顺利求解;(2)在平面B1DF中寻找两条相交直线与CF垂直,通过直线垂直(向量垂直)的充要条件构建方程.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),E(,0,),A1(0, ,3),C(,0,0). =(,0,),=(,-,-3). cos,=-. 因此,直线BE与A1C所成的角的余弦值是-. (2)假设存在点F,使CF平面B1DF. B1D平面AA1C1C,CF平面AA1C1C, B1DCF. 设|AF|=b,则F(0,b,),B1(0,0,3). =(-,b),=(0,b-3). 由=0,得2+b(b-3)=0, 解得b=1或b=2. 因此,当b=1或b=2时,CFB1F,BDCF,即在线段AA1上存在两点F,使CF平面B1DF,且AF的长为1或2.讲评:向量是解决立体几何的全新工具,它降低了问题的难度,简缩了思维过程,将灵活的逻辑推理转化为机械的代数运算.
