1、第2课时 空间向量的数量积必备知识自主学习1.两个向量的夹角【思考】(1)两向量共线时，其夹角分别是多少？提示：两个非零向量共线且同向时，a，b0，两个非零向量共线且反向时，a，b.(2)零向量与其他向量的位置关系是怎样的？提示：为了方便起见，约定零向量与任意向量都垂直2两个向量的数量积【思考】(1)空间向量的数量积的运算符号“”能省略吗，能写成“”吗？提示：空间向量的数量积的运算符号是“”，不能省略，也不能写成“”(2)两个向量的数量积与数乘向量有何不同？提示：两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0a0，而0
2、a0.3投影向量给定空间向量a和空间中的直线l(或平面)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面)上的投影【思考】(1)向量的投影是向量吗？提示：是(2)a与b的数量积怎样用a在b上的投影a的数量来表示？提示：a与b的数量积等于a在b上的投影a的数量与b的长度的乘积1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)向量AB 与CD 的夹角等于向量BA 与CD 的夹角()(2)空间向量的数量积仍是一个向量()(3)若 ab0，则 a0 或 b0.()提示：(1).根据向量夹角的概念，向量AB 与CD 的夹角和向量BA 与CD 的夹角互补(2).空间
3、向量的数量积是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量(3).若 ab0，则 a0、b0 或 ab.2下列关于空间向量数量积的运算中，正确的是()Aab|a|bBab|a|b sin a，bCabbaDc()ab cab【解析】选C.根据空间向量数量积的概念及运算性质可得，只有C选项正确3.(教材例题改编)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB BC _，BC 1B C _【解析】AB BC，故AB BC 0，BC 1B C CB 1CB 1 2 cos 451.答案：0 1关键能力合作学习类型一 空间向量的夹角(直观想象)1.如图所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1
4、，点 E，F 分别是 OA，OC 的中点，则EF，CB()A30 B60 C90 D1202如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则1A B，AC _.3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_【解析】1.选D.由题意，EFAC，所以EF，CB AC，CB 120.2方法一：如图，连接A1C1，BC1，得等边三角形A1BC1，因为A1C1AC，所以1A B，AC 1A B，11A C 60.答案：60方法二：不妨设正方体的棱长为1，设AB a，AD b，1AA c，则|a|b|c|1，abbcca0，1A Bac，AC ab.所以1A BAC(ac)(ab)|a|2abacbc1，
5、而1A B|AC|2，所以cos 1A B，AC 12 2 12，因为01A B，AC 180，所以1A B，AC 60.答案：603因为cos a，b ab|a|b|332 12，所以a，b120.答案：120 求空间向量夹角的两种方法：1几何求解法：平移直线，得到异面直线夹角，再根据向量的方向得出空间向量的夹角2夹角公式法：由空间向量的数量积公式变形，得到夹角公式cos a，bab|a|b|，利用公式求解【补偿训练】如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，则(1)AB，11A C _；(2)AB，11C A _；(3)AB，11A D _【解析】(1)因为11A C AC，所以
6、AB，11A C AB，AC 又CAB45，所以AB，11A C 45.(2)AB，11C A 180AB，11A C 135.(3)AB，11A D 90.答案：(1)45(2)135(3)90类型二 求空间向量的数量积(数学运算)【典例】如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求：(1)EF BA；(2)EF BD；(3)EF DC；(4)AB CD.四步内容理解题意条件：正四面体 ABCD 棱长为 1；E，F 分别是 AB，AD 的中点结论：(1)EF BA；(2)EF BD；(3)EF DC；(4)AB CD.思路探求用定义求数量积四步内容
7、书写表达(1)EF BA 12 BD BA 12|BD|BA|cos BD，BA 12 cos 6014.(2)EF BD 12 BD BD 12|BD|212.四步内容书写表达(3)EF DC 12 BD DC 12|BD|DC|cos BD，DC 12 cos 12014.(4)AB CD AB(AD AC)AB AD AB AC|AB|AD|cos AB，AD|AB|AC|cos AB，AC cos 60cos 600.注意：向量的夹角；分解向量四步内容题后反思求两个空间向量数量积时要紧扣数量积的概念，明确两个问题，即两个向量的模及两个向量的夹角求两个向量a，b的数量积一般有两个类型：一
8、是结合图形确定向量a，b的模及a，b的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量a，b，从而把a，b的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求，此种情况常用到数量积的运算律已知长方体 ABCD ABCD，ABAA2，AD4，E 为侧面 AB的中心，F 为AD的中点，计算下列数量积：(1)AB AB；(2)BC ED；(3)EF FC.【解析】如图，设AB a，AD b，AAc，则由题意，得|a|c|2，|b|4，|AB|2 2，AB，AB45，abbcca0，(1)AB AB|AB|AB cos AB，AB22 2 22 4.(2)B
9、C EDb12（ca）b|b|216.(3)EF FC12（ca）12b 12ba12|a|214|b|22.类型三 空间向量数量积的性质及应用(逻辑推理)角度1 求空间两点的距离【典例】如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，从顶点A出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60，求对角线AC1和BD1的长【思路导引】把向量1AC 和1BD 用已知向量AB、AD、1AA 表示出来，再用数量积的性质运算【解析】因为1AC AB AD 1AA，所以|1AC|211AC AC(AB AD 1AA)(AB AD 1AA)|AB|2|AD|2|1AA|22(AB AD AB 1AA AD 1
10、AA)1112(cos 60cos 60cos 60)6.所以|1AC|6，即对角线 AC1 的长为 6.同理，|1BD|211BD BD(AD 1AA AB)(AD 1AA AB)|AD|2|1AA|2|AB|22(AD 1AA AB 1AA AD AB)1112(cos 60cos 60cos 60)2.所以|1BD|2，即对角线BD1的长为 2.本例条件不变，若E为CC1的中点，求AE的长【解析】AE AB AD 121AA，所以|AE|2AE AE(AB AD 121AA)(AB AD 121AA)|AB|2|AD|214|1AA|22AB AD AB 1AA AD 1AA 1114
11、2cos 60cos 60cos 60414，所以|AE|172.角度2 证明垂直问题【典例】如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直【思路导引】将AC 用AB，BC 表示；BD 用AD，AB 表示；利用向量的运算律及向量垂直的数量积为0求出AC BD；判断出垂直【证明】AC BD(AB BC)(AD AB)AB AD AB AB BC AD BC AB AB AD AB AB 0BC AB AB(AD AB BC)AB(BD BC)AB CD 0.故AC与BD互相垂直 1求空间几何体中两点的距离或线段长度的两个关注点(1)转化：把空间
12、两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算(2)公式：用aa|a|2，求|a|.2证明垂直问题的两个关注点(1)转化：证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零(2)公式：对于空间两个非零向量a，b，有abab0.1如图，已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()APC 与BD BDA 与PB CPD 与AB DPA 与CD 【解析】选A.根据题意，依次分析选项：对于A，PC与BD不一定垂直，即向量PC，BD 不一定垂直，则向量PC，BD 的数量积不一定为0，对于B，根据题意，有PA平面ABC
13、D，则PAAD，又由ADAB，PAABA，则有AD平面PAB，进而有ADPB，即向量DA，PB 一定垂直，则向量DA，PB 的数量积一定为0，对于C，根据题意，有PA平面ABCD，则PAAB，又由ADAB，APADA，则有AB平面PAD，进而有ABPD，即向量PD，AB 一定垂直，则向量PD，AB 的数量积一定为0，对于D，根据题意，有PA平面ABCD，则PACD，即向量PA，CD 一定垂直，则向量PA，CD 的数量积一定为0.2如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，则A，D两点间的距离为_【解析】因为AD AB BC CD，所以|A
14、D|2(AB BC CD)2|AB|2|BC|2|CD|22AB BC 2AB CD 2BC CD 122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，所以|AD|2 2，即A，D两点间的距离为2 2.答案：2 2 3如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若ABCD，ACBD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EFAD且EFBC.【证明】连接AF，因为点F是BC的中点，所以AF 12(AB AC)，所以EF AF AE 12(AB AC)12 AD 12(AB AC AD)，又|AC|BD|AD AB|，所以AC 2AD 22AD AB AB 2，同理AB
15、2CD 2AD 22AC AD AC 2，将代入可得AB 2AD 22AC AD AD 22AB AD AB2，所以2AD 22AD(AC AB)0，所以AD(AC AB AD)0，所以AD 12(AB AC AD)0，所以AD EF 0，所以EF AD.同理可得EF BC.所以EFAD且EFBC.课堂检测素养达标1下列说法正确的是()A对于非零向量a，b，a，b与a，b相等B对于非零向量a,|a|aaC若a2b2，则ab或abD若向量a，b满足|a|1，|b|2，且a，b的夹角为3，则ab 3【解析】选B.对于非零向量a，b，a，b与a，b互补，A错由数量积的性质知B正确a2b2，只能推出|
16、a|b|，而不能推出ab，C错ab|a|b|cos a，b1212 1，D错2如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2BA AC B2AD DB C2FG AC D2EF CB 【解析】选C.2BA AC a2，故A错；2AD DB a2，故B错；2EF CB 12 a2，故D错，2FG AC AC 2a2，故C正确3设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60，且|a|5，|b|3，|c|8，则(a3c)(3b2a)_【解析】(a3c)(3b2a)3ab2|a|29bc6ac62.答案：624已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2 2，|b|22，ab 2，则a，b_【解析】cos a，b ab|a|b|22，因为a，b0，所以a，b34.答案：34
