1、四川省遂宁市船山区第二中学校2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设向量 （2，4）与向量 （x，6）共线，则实数x（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】由向量平行的性质，有24x6，解得x3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则最短边的长等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角形内角和求出，再根据大边对大角可知最短边的边长为，由正弦定理
2、可得，解得的值，从而得出结论.【详解】 边最短.由正弦定理得 .故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见方法有：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角和锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3.已知四边形中，则其形状为（ ）A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形【答案】D【解析】【分析】推导出且，由此能求出四边形是菱形【详解】解：四边形中，且，四边形是菱形，故选：D【点睛】本题主要考查四边形形状的判断，考查向量的数量积、向量相
3、等等基础知识，属于基础题4.已知，若与反向，则等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据以及可得答案.【详解】因为，且与反向，所以.故选：D【点睛】本题考查了向量共线问题，考查了向量的数乘运算的坐标表示，属于基础题.5.已知函数，则其单调递增区间为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质,即可求得其单调递增区间.【详解】由辅助角公式,化简三角函数式可得由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足解得即单调递增区间为,故选:A【点睛】本题考查了三角函数式的化简应用,正弦函数图像与性质的简单应用,
4、属于基础题.6.如图，从高为气球()上测量待建规划铁桥()的长，如果测得桥头()的俯角是，桥头()的俯角是，则桥的长为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出与，由求出的长即可.【详解】由题意得：，在中，即，整理得：；在中，即，整理得：，则，故选A.【点睛】此题属于解三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及性质是解本题的关键.7.，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正切函数二倍角公式化简;由辅助角公式化简,由余弦函数的降幂
5、公式化简,即可比较化简后的三角函数值大小.【详解】根据正切二倍角公式可知由辅助角公式可得由余弦降幂公式可知因为,所以即故选:B【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正切二倍角公式的应用,辅助角公式化简三角函数式,余弦函数的降幂公式应用,函数值大小比较,属于中档题.8.在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0x1.又，C(1,1)，所以，所以，因为0x1，所以，即的取值范围是.故选C.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关
6、的不要忽略数量积几何意义的应用9.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，又由余弦定理得，故选B考点：正弦定理与余弦定理的应用10.已知数列中，且对，总有，则（ ）A. 1B. 3C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】根据，证明是周期数列，然后根据数列周期以及已知条件，即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以是周期为的数列，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用数列的周期性进行求值，对于分析和转化的能力要求较高，难度一般.11.是内的一点，则的面积与的面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
7、析】设边的中点为,则有,因为,则,即,因为,即可求出结果.【详解】设边的中点为，则.，.故选:C.【点睛】本题考查向量的运算和三角形面积的计算,难度一般.12.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是 （ ）A. 05B. 15C. 13D. 14【答案】C【解析】试题分析：新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角所以，即，整理可得，解得因为均为三角形的三边长，且最短边长为，最长边长为所以，综上可得故C正确考点：1余弦定理；2三角形中边与角的关系及三边间的关系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20
8、分.把答案填在题中横线上）13.若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了二倍角余弦公式，属于基础题.14.已知数列，3，则是它的第_项.【答案】11【解析】【分析】由解方程即可得到结果.【详解】令，解得.故答案为：11.【点睛】本题考查了数列的概念，属于基础题.15.在中，面积为，则_【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】，面积为,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应
9、用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，则的最小值为_【答案】5【解析】【分析】设圆心为O,AB中点为D,先求出，再求PM的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB中点为D,由题得.取AC中点M，由题得,两方程平方相减得，要使取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=,所以PM有最小值为2，代入求得的最小值为5故答案为5【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每小题12分，共
10、70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（）；（）【解析】【详解】解：（）由sin2cos=0，得tan=2tanx=；（）=（）+1=18.已知，在同一平面内，且.（1）若，且，求；（2）若，且，求与的夹角.【答案】（1）或（2）.【解析】【分析】（1）设，根据，得到 ，再根据，建立方程组求解.（2）根据，得到，结合，求得，再求夹角.【详解】（1）设，即，或或.（2），即又，.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知，（1）求的值；（2）求角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1
11、）先通过诱导公式和同角三角函数基本关系求出，进而可求出；（2）先通过求出，再通过展开可得答案【详解】解：（1）因为，所以.因，所以.所以；（2）因为，且，所以，所以.因为，所以.【点睛】本题考查三角恒等变形公式的应用，是中档题20.的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且,求的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）先根据同角三角函数的关系求出 从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.试题解析：（1），由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，.21.已知向量，设函数
12、.（1）求函数的最大值；（2）已知在锐角中，角，所对的边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据坐标形式下向量的数量积运算，结合辅助角公式将化简成的形式，即可确定出最大值；（2）根据结合正弦定理得到之间的等量关系，即可将转变为关于或的三角函数形式，根据对应角度的范围即可求解出的取值范围.详解】（1），则，此时即；（2）由，由，则，由，由，则，则.【点睛】本题考查向量的数量积、三角恒等变换、正弦定理的综合应用，难度一般.已知三角形的形状，求解三角函数的取值范围时，要注意根据三角形的形状先求解出角度的范围，然后再考虑根据角度范围求解三角函数的取值范围.22.如
13、图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为2百米，为若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记（1）试用表示的长；（2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.【答案】（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF4cossin()， 再求出DEAF=44，再利用三角函数求DEDF的最大值.详解：（1）连结DC在ABC中，AC为2百米，ACBC，A为，所以CBA，AB4，BC 因为BC为直径，所以BDC，所以BDBC coscos （2）在BDF中，DBF，BFD，BDcos，所以， 所以DF4cossin()， 且BF4，所以DEAF=44， 所以DEDF444 sin()= sin2cos232 sin(2)3 因为，所以2，所以当2，即时，DEDF有最大值5，此时E与C重合答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DEDF sin2cos232 sin(2)3，再根据，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.