1、12 空间向量在立体几何中的应用12.1 空间中的点、直线与空间向量必备知识自主学习1.空间中点的位置向量 如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量_唯一 确定,此时,通常称_为点P的位置向量.导思 1.空间中点的位置向量是如何定义的?2.空间中直线的方向向量是怎样定义的?空间中两直线的位置 关系与其方向向量有何关系?OPOP【思考】空间直角坐标系中的点的位置向量是由什么确定的？提示：空间直角坐标系中的点的位置向量由它的坐标唯一确定2.空间中直线的方向向量(1)定义:一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示 v的有向线段所在的直线与l_,则称v
2、为直线l的一个方向向量.此时,也 称向量v与直线l_,记作vl.平行或重合 平行(2)性质：若 A，B 是直线 l 上的任意的不同两点，非零向量 v 是直线 l 的一个方向向量，则：1AB 是直线 l 的一个方向向量2对任意实数 0，v 是直线 l 的一个方向向量3存在唯一的实数，使AB v【思考】空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？提示：不唯一，都平行3空间中两条直线的位置关系与空间向量(1)如果非零向量 v1，v2 分别是空间中直线 l1，l2 的方向向量，且 l1，l2 所成角的大小为，点 Al1，Bl2，则平行v1v2l1l2 或 l1，l2 重合夹角v1，v2或 v1，
3、v2垂直l1l2v1，v22 v1v20异面v1，v2，AB 不共面l1，l2 异面(2)公垂线段：如果 l1 与 l2 是空间中两条异面直线，Ml1，Nl2，MNl1，MNl2，则称 MN 为 l1 与 l2 的公垂线段1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)空间一条直线的方向向量是唯一的()(2)若向量v是直线l的一个方向向量，则向量 kv也是直线l的一个方向向量()(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()提示：(1).空间中一条直线存在无数条方向向量(2).当 k0 时可以(3).两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补2(教材例题改编)若直线 l1
4、的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 120，则 l1 与 l2这两条异面直线所成的角等于()A150 B120 C60 D30【解析】选 C.由异面直线所成角的定义可知，l1 与 l2 所成的角为 18012060.3直线 l1 的方向向量为 v1(1，0，1)，直线 l2 的方向向量为 v2(2，0，2)，则直线 l1 与 l2 的位置关系是_【解析】因为 v1v2(1，0，1)(2，0，2)0，所以 v1v2，所以 l1l2.答案：垂直 关键能力合作学习类型一 空间中点的位置向量与直线的方向向量的确定(逻辑推理)1设 d1 与 d2 都是直线 l 的方向向量，则下列关于 d1 与 d2
5、 的叙述正确的是()Ad1d2Bd1 与 d2 同向Cd1d2Dd1 与 d2 有相同的位置向量2若 A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为()A(1，2，3)B(1，3，2)C(2，1，3)D(3，2，1)3点 M 在 z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s(1，1，1)的直线 l 的距离为 6，则点 M 的坐标是()A(0，0，2)B(0，0，3)C(0，0，3)D(0，0，1)【解析】1.选 C.根据直线的方向向量的定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量因此直线 l 的方向向量都应该是共线的2选 A.由题意可得：直线
6、l 的一个方向向量AB(2，4，6)，又因为(1，2，3)12(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线 l 的一个方向向量 3选 B.设 M(0，0，z)，P(t，t，t)是直线 l 上任一点，令 MPs，则MP s0，由于MP(t，t，tz)，因此 tttz0，即 z3t，而|MP|6，即 t2t2（tz）2 6，由以上两式解得 t1，z3 或 t1，z3，因此 M 的坐标为(0，0，3)或(0，0，3).解决位置向量、方向向量的方法转换法：转化为向量共线、向量相等、向量的坐标运算解决【补偿训练】已知两点 A(1，2，3)，B(2，1，1)，则 AB 连线与xOz 平面的交点坐标是_【解析】
7、设交点坐标为 P(x，0，z)，则由 A，P，B 三点共线可设AP AB，得(x1，2，z3)(1，3，4)，即x1，23，z34，解得x53，z13故 AB 连线与 xOz 平面的交点坐标是53，0，13.答案：53，0，13 类型二 空间中两条直线所成的角(逻辑推理、数学运算)【典例】如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，ABAC，ABAC2，AA14，点 D 是 BC 的中点，求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值 四步内容理解题意条件：直三棱柱中，ABAC，ABAC2，AA14；点 D 是BC 的中点结论：异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值思路探求以AB，AC，
8、1AA为单位正交基底建立空间直角坐标系 A-xyz，求出1A B，1DC，利用向量的夹角公式求解即可 四步内容书写表达以AB，AC，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则由题意知 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，所以1A B(2，0，4)，1DC(1，1，4)，所以 cos 1A B，1DC 1111A B DC|A B|DC|1820 18 3 1010，四步内容书写表达所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为3 1010.注意：合理建系，正确写出坐标；向量的夹角与异面直线夹角的区别 四步内容题
9、后反思两异面直线所成的角 可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，直线的方向向量的夹角与 相等或互补 求两条异面直线所成角常用的方法 向量法 即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线所成的角.定义法(平移法)由两条异面直线所成角的定义将求两条异面直线所成角的大 小转化为平面角求解.求解的方法是解三角形.已知三棱锥 O-ABC(如图)，OA4，OB5，OC3，AOBBOC60，COA90，M，N 分别是棱 OA，BC 的中点求直线 MN 与 AC 所成角的余弦值【解析】设OA a，OB b，OC c，直线 MN 与 AC 所成的角为，则MNON OM12(bc)12 a12(bca)，AC
10、 ca，所以|MN|214(bca)214(|a|2|b|2|c|22bc2ab2ac)14(42523215200)454，|AC|2(ca)2|a|2|c|22ac4232025，MNAC 12(bca)(ca)12(bc|c|2ab2ac|a|2)12 152 910016454.cos|cos MN，AC|MN AC|MN|AC|454454 53 510.所以直线 MN 与 AC 所成角的余弦值为3 510.类型三 空间中直线的位置关系问题(直观想象、逻辑推理)角度 1 平行或异面问题 【典例】如图，已知正方体 ABCDABCD，点 M，N 分别是面对角线 AB 与面对角线 AC的中
11、点求证：MNAD.【思路导引】可利用基向量法，也可利用坐标法【证明】方法一：基向量法设AB a，AD b，AAc，则AM 12(ac)，AN c12(ab)，所以MNAN AM 12(bc).又因为 bcAD，所以MN 12 AD，所以MNAD，因为 M 不在平面 ADDA内，所以 MNAD.方法二：坐标法建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则 A(0，0，0)，D(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，所以AD(0，2，2)，MN(0，1，1)，所以MN12 AD，所以MNAD，因为 M 不在平面 ADDA内，所以 MNAD.(1)本例条件不变，证明 MN 与 CD不平行(
12、2)本例条件不变，证明 MN 与 CD是异面直线【证明】建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则 C(2，2，0)，D(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，所以CD(2，0，2)，MN(0，1，1)，(1)不存在 R，使MNCD，所以MN与CD不平行，故 MN 与 CD不平行(2)ND(1，1，0)，设CD MN ND，则()2，0，2(0，1，1)()1，1，0，所以()2，0，2()，即202，无解 所以不存在这样的，值，使CD MN ND.故CD，MN，ND不共面，所以 MN 与 CD是异面直线 角度 2 垂直问题 【典例】如图，在四面体 S-ABC 中，E，F，G，H
13、，M，N 分别是棱 SA，BC，AB，SC，AC，SB 的中点，且 EFGHMN，求证：SABC，SBAC，SCAB.【思路导引】本题是一个证明线线垂直的问题，可以取 SA，SB，SC 对应的向量为基向量，将 SA，BC，SB，AC，SC，AB 这六个线段对应的向量用基向量表示出来，利用数量积为 0 证明线线垂直【证明】设SA r1，SB r2，SC r3，则SE 12 r1，SF 12(r2r3)，SG 12(r1r2)，SH 12 r3，SM 12(r1r3)，SN 12 r2.所以EF r1r2r32，GH r3r1r22，MNr2r1r32；因为 EFGHMN，所以2123r+r+r2
14、（）2312rrr2（）2213rrr2（）展开得 r1r2r2r3r1r3，所以 r1(r2r3)0，因为 r10，r2r30，所以 r1(r2r3)，即 SABC，同理可证 SBAC，SCAB.利用坐标法证明两直线的位置关系(1)证明两直线平行一般转化为证明两直线的方向向量共线(2)证明两直线异面一般转化为证明两直线的方向向量与两直线上两点连线的方向向量不共面(3)证明两直线垂直一般转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为 0.1若ABC 中，C90，A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k)，则k 的值为()A 10 B 10 C2 5 D 10【解析
15、】选 D.因为 A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k)，所以AC(3，2，k)，BC(6，1，2k)，因为 ABC 中C90，所以AC BC(3，2，k)(6，1，2k)1822k20，解得 k 10.2如图，在长方体 OAEB-O1A1E1B1 中，OA3，OB4，OO12，点 P 在棱AA1 上，且 AP2PA1，点 S 在棱 BB1 上，且 SB12BS，点 Q，R 分别是 O1B1，AE 的中点，求证：PQRS.【证明】如图，建立空间直角坐标系，则 A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)，因为
16、AP2PA1，所以AP 21PA 231AA，即AP 23(0，0，2)0，0，43，所以 P3，0，43，同理可得，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S0，4，23，所以PQ 3，2，23RS，所以PQ RS，因为 RPQ，所以 PQRS.3在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB的中点求证：(1)ACBC1；(2)AC1 与 B1D 不平行【证明】在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC3，BC4，AB5，AC，BC，CC1两两垂直，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0
17、，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D32，2，0.(1)因为AC(3，0，0)，1BC(0，4，4)，所以AC 1BC 0.所以AC 1BC 所以 ACBC1.(2)因为1AC()3，0，4，1B D32，2，4，又332 02，所以1AC，1B D不平行，故 AC1 与 B1D 不平行【补偿训练】正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 AC 的中点，证明：(1)BD1AC；(2)BD1EB1.【证明】以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 B
18、(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E12，12，0，B1(1，1，1).(1)1BD(1，1，1)，AC(1，1，0)，所以1BD AC(1)(1)(1)1100，所以1BD AC，所以 BD1AC.(2)1BD(1，1，1)，1EB 12，12，1，所以1BD 1EB(1)12(1)12 110，所以1BD 1EB，所以 BD1EB1.课堂检测素养达标1若点 A12，0，12，B12，2，72在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为()A13，23，1 B13，1，23C23，13，1 D1，23，13【解析】选 A.因为AB(1，2，3)，所以13
19、，23，113(1，2，3)13 AB，所以13，23，1是直线 l 的一个方向向量 2(教材练习改编)若直线 l1，l2 的方向向量分别为 v1(1，2，3)，v212，1，32，则 l1，l2 的位置关系是()A垂直B重合C平行D平行或重合【解析】选 D.因为直线 l1，l2 的方向向量分别为 v1(1，2，3)，v212，1，32，所以 v12v2，所以 l1，l2 平行或重合 3已知直线 l1 的方向向量 m(2，m，1)，l2 的方向向量 n1，12，2，且 l2l1，则 m()A8 B8 C1 D1【解析】选 B.因为直线 l1 的方向向量 m(2，m，1)，l2 的方向向量 n1，12，2，且 l2l1，所以 mn212 m20，解得 m8.4设 O 为坐标原点，OA(1，1，2)，OB(3，2，8)，则线段 AB 的中点 P的坐标为_【解析】OP 12 OA OB2，32，5.答案：2，32，55如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 CD，CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成角为_【解析】以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线为坐标轴建系，设正方体的棱长为 1，则1A M1，12，1，DN 0，1，12，cos 1A M，DN 11A M DN|A M|DN|0，所以1A M，DN 2.答案：2