1、基础诊断考点突破第6讲 抛物线基础诊断考点突破最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质基础诊断考点突破知 识 梳 理1抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的点的集合叫作抛物线这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的(2)其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)相等准线基础诊断考点突破2抛物线的标准方程与几何性质图形y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离基础诊
2、断考点突破顶点O(0,0)对称轴y0 x0焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR性质开口方向向右向左向上向下基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通
3、径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.()基础诊断考点突破解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线(2)方程 yax2(a0)可化为 x21ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是 y 14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2(2016四川卷)抛物线 y24x 的焦点坐标是()A(0,2)B(0,1)C(2,0)D(1,0)解析 抛物线 y2ax 的焦点坐标为a4，0，故 y24x，则焦点坐标为(1,0)答案 D基础诊断考点突破3(2014全国卷)已
4、知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C上一点，|AF|54x0，则 x0()A4 B2C1 D8解析 由 y2x，得 2p1，即 p12，因此焦点 F14，0，准线方程为 l：x14.设 A 点到准线的距离为 d，由抛物线的定义可知d|AF|，从而 x01454x0，解得 x01，故选 C.答案 C基础诊断考点突破4(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_解析 很明显点 P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y22px(p0)，把点 P(2，
5、4)的坐标代入得(4)22p(2)，解得 p4，此时抛物线的标准方程为 y28x；基础诊断考点突破当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x22py(p0)，把点 P(2，4)的坐标代入得(2)22p(4)，解得 p12，此时抛物线的标准方程为 x2y.综上可知，抛物线的标准方程为 y28x 或 x2y.答案 y28x 或 x2y基础诊断考点突破5已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2,0)的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_解析 设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y整理得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0 时，显然满足题意；当k0
6、时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或 0k1，因此 k 的取值范围是1,1答案 1,1基础诊断考点突破考点一 抛物线的定义及应用【例 1】(1)(2016浙江卷)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_(2)若抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，则|PA|PF|取最小值时点 P 的坐标为_解析(1)抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)准线为 x1，由 M 到焦点的距离为 10，可知 M 到准线 x1 的距离也为 10，故 M的横坐标满足 xM110，解得 xM9，所以点 M 到 y
7、轴的距离为 9.基础诊断考点突破(2)将 x3 代入抛物线方程y22x，得 y 6.62，A 在抛物线内部，如图设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，点 P 的坐标为(2,2)答案(1)9(2)(2,2)基础诊断考点突破规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径基础诊断考点突破【训练 1】(1
8、)过抛物线 y28x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交抛物线的准线于点 C，若|AF|6，BCFB(0)，则 的值为()A.34 B.32 C.3 D3(2)动圆过点(1,0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_基础诊断考点突破解析(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(2，x3)，则 x126，解得 x14，y14 2，点 A(4,4 2)，则直线 AB 的方程为 y2 2(x2)，令 x2，得 C(2，8 2)，联立方程组y28x，y2 2x2，解得 B(1，2 2)，所以|BF|123，|BC|9，所以 3.基础诊断考点突破(2)设动圆的圆心坐标为(
9、x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x.答案(1)D(2)y24x基础诊断考点突破考点二 抛物线的标准方程及其性质【例 2】(1)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为()Ax28 33 yBx216 33yCx28yDx216y(2)(2016全国卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线
10、的距离为()A2 B4 C6 D8基础诊断考点突破解析(1)x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3.x22py(p0)的焦点坐标为0，p2，x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，即 y 3x.由题意得p21 322，解得 p8.故C2 的方程为 x216y.(2)不妨设抛物线 C：y22px(p0)，圆的方程为 x2y2r2(r0)，|AB|4 2，|DE|2 5，抛物线的准线方程为 xp2，基础诊断考点突破不妨设 A4p，2 2，Dp2，5，点 A4p，2 2，Dp2，5 在圆 x2y2r2 上，16p28r2，p24
11、5r2，16p 8p24 5，解得 p4(负值舍去)，C 的焦点到准线的距离为 4.答案(1)D(2)B基础诊断考点突破规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.基础诊断考点突破【训练 2】(1)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此
12、抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2 3x(2)(2017西安模拟)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB 的面积为_基础诊断考点突破解析(1)设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1，由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线 l 的斜率为 3，故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB|4，故 p|AA1|CF|AC|12，即 p32，从而抛物线的方程为 y23x，故选 C.(2)基础诊断考点突破如图，由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x
13、1 的距离为 3，所以点 A 的横坐标为2，将 x2 代入 y24x 得 y28，由图知点 A 的纵坐标为 y2 2，所以 A(2,2 2)，所以直线 AF 的方程为 y2 2(x1)，联立直线与抛物线的方程y2 2x1，y24x，解得x12，y 2或x2，y2 2，由图知 B12，2，所以 SAOB121|yAyB|3 22.答案(1)C(2)3 22基础诊断考点突破考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究)命题角度一 直线与抛物线的公共点(交点)问题【例 31】(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M
14、 关于点 P的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|OH|ON|；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由基础诊断考点突破解(1)由已知得 M(0，t)，Pt22p，t，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Nt2p，t，故 ON 的方程为 yptx，将其代入 y22px 整理得 px22t2x0，解得 x10，x22t2p，因此 H2t2p，2t.所以 N 为 OH 的中点，即|OH|ON|2.基础诊断考点突破(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytp2tx，即 x2tp(yt)代入 y22
15、px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点基础诊断考点突破规律方法(1)本题求解的关键是求点 N、H 的坐标第(2)问将直线 MH 的方程与曲线 C 联立，根据方程组的解的个数进行判断(2)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧基础诊断考点突破命题角度二 与抛物线弦长(中点)有关的问题【例 32】(2017泰安模拟)已知抛物线 C：
16、y22px(p0)的焦点为F，抛物线 C 与直线 l1：yx 的一个交点的横坐标为 8.(1)求抛物线 C 的方程；(2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|PB|，求FAB 的面积基础诊断考点突破解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为 y28x.(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点为 M.由y28x，xym，得 y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2y2
17、1y2264 m2.基础诊断考点突破由题意可知 OAOB，即 x1x2y1y2m28m0，m8 或 m0(舍)，直线 l2：xy8，M(8,0)故 SFABSFMBSFMA12|FM|y1y2|3 y1y224y1y224 5.规律方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.基础诊断考点突破【训练 3】已知点 F 为抛物线 E：y22p
18、x(p0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|3.(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 G(1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切基础诊断考点突破(1)解 由抛物线的定义得|AF|2p2.因为|AF|3，即 2p23，解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x.(2)证明 因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2.由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为y2 2(x1)基础诊断考点突破由y2 2x1，y24x，得 2
19、x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1,0)，所以 kGA 2 20212 23，kGB 201212 23，所以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB相切基础诊断考点突破思想方法1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F(抛物线的焦点)，一条定直线 l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)基础诊断考点突破2抛物线的焦点弦：设过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)若直线 AB 的倾斜角为，则|AB|2psin2；|AB|x1x2p；(3)若 F 为抛物线焦点，则有 1|AF|1|BF|2p.基础诊断考点突破易错防范1认真区分四种形式的标准方程(1)区分 yax2(a0)与 y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y2mx 或 x2my(m0)2直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式