1、第3讲 圆的方程 知识梳理1. 圆的标准方程与一般方程圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r；圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是2.以为直径端点的圆方程为3. 若圆与轴相切，则;若圆与轴相切，则 4. 若圆关于轴对称，则； 若圆关于轴对称，则；若圆关于轴对称，则； 5、点与圆的位置关系：在圆内在圆上 在圆外重难点突破重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程, 难点:根据已知条件,求圆的方程重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：(或)得到方程组,进而求出圆的方程1.充分利用圆的几何性质解题圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大
2、值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点）的距离来处理问题1：已知圆和点，点P在圆上，求面积的最小值点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P到直线的距离的最小值为，求面积的最小值为2.运用转化的思想处理圆的对称问题问题2:圆关于直线对称，则 点拨：圆关于直线对称的实质是圆心在直线上，因此可将圆心坐标代入直线方程解决解析：问题3:圆关于直线的对称圆的方程为 点拨：两圆和关于直线对称，可以转化为点对称问题（即圆心和关于直线对称且半径相等），也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值解析：方法1：原点关于直线的对称点为（1，1），所以圆关于直线的对称圆的方程为方法2：设是圆上一动点，它关于直线的对称
3、点为，则 在圆， 圆关于直线的对称圆的方程为热点考点题型探析考点1 圆的方程 题型1: 对圆的方程的认识 例1 设方程x2+y22(m+3)x+2(14m2)y+16m4+9=0。（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。（3）求圆心的轨迹方程解析（1）由得：，化简得：，解得：。所以当时，该方程表示一个圆。（2）r=,当 时，（3）设圆心，则，消去得所求的轨迹方程为【名师指引】（1）已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；（2）第3问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把x,y都表示成m的函数，消去参数可得到方
4、程，用此法要注意变量x,y的范围题型2: 求圆的方程例2（1）求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程； （2）求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。【解题思路】根据条件，列方程组求参数解析（1）设圆心,则有，所求圆的方程为（2）采用一般式，设圆的方程为，将三个已知点的坐标代入得，解得：故所求圆的方程为【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键，(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程【新题导练】1.若，方程表示的圆的个数为
5、（ ）.A、0个 B、1个 C、2个 D、3个解析:B得，满足条件的只有一个，方程表示的圆的个数为1.2. ( 广州六中2008-2009学年度高三期中考试) 若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为（ ）A-2或2BC2或0D-2或0解析: C 圆的圆心为（1，2），或23.与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为 解析 或4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 解析B设，则，化简得考点2 圆的几何性质 题型1：运用圆的几何性质解题 例3 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方
6、程.【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形” 解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上，故设圆方程为（x3b）2+（yb）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圆方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点：（1）确定用圆的标准方程还是一般方程；（2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.例
7、4 已知O的半径为3，直线l与O相切，一动圆与l相切，并与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.【解题思路】问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点 解析取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x，y），O与M的公共弦为AB，M与l切于点C，则|MA|=|MC|.AB为O的直径，MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|.化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.【名师指引】求轨迹的
8、步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置上），这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。【新题导练】5.已知圆的方程为.是该圆过点（3，5）的11条弦的长，若数列是等差数列,则 数列的公差的最大值为 解析 圆心坐标为（3，4），半径为5，圆的弦长的最小值和最大值分别是和10，数列的公差的最大值为考点: 与圆有关的最值题型：求与圆有关的最值例4 已知圆，求（1）的最大值（2）的最大值与最小值（3）的最小值【解题思路】根据所求式子的几何意义求解或转化为函数的最值解析（1）表示圆上的点到原点的距离的平方因圆心到点的距离为2，的最大值
9、为3，从而的最大值为9方法2：设，则（2）表示圆上的点与原点连线的斜率，所以的最大值与最小值是直线与圆相切时的斜率，设直线的方程为，由得，的最大值与最小值分别为和（3）设，则解法2：设，则，代入圆的方程并化简得：，解得：【名师指引】（1）与圆有关的最值的求法有：几何法、函数法、判别式法（2）用几何法时，要见“数”想“形”，即所求式子的几何意义（3）用函数法时，常用三角换元【新题导练】6已知满足,则的最小值为 解析 表示圆上的点与点连线的斜率，所以的最小值是直线与圆相切时的斜率，设直线的方程为，即由得，的最大值与最小值分别为 抢分频道基础巩固训练1、点()在圆的内部，则的取值范围是（ ）A11B
10、 01 C1 D1解析: 由得12、（2009天河区）直线平分圆的周长，则A3 B5C3D5 解析：直线经过圆心（4，-1）， 3、方程表示的圆与轴相切于原点，则 AB C D 解析：圆心在轴上，又圆经过原点，4、直线截圆所得弦的中点是，则= 解析：圆心，半径，又5、关于方程表示的圆,下列叙述中:关于直线x+y=0对称;其圆心在x轴上;过原点半径为.其中叙述正确的是（要求写出所有正确命题的序号）解析: 圆心为,半径为,故正确6、已知的三个顶点的坐标分别为，以原点为圆心的圆与三角形有唯一的公共点，求圆的方程解析：原点到三角形三边的最近距离是1，原点到三角形三个顶点的最远距离是，故所求圆的方程为或
11、综合提高训练3-47、（2007 惠州）若直线经过圆的圆心，则的最小值是 （ ）A B C4 D2解：圆心为，8、已知mR，直线l：和圆C：。（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l与圆C相交于A、B两点，若的面积为，求直线的方程解：（）直线的方程可化为，直线的斜率，2分因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率的取值范围是5分（）由（）知的方程为，其中圆的圆心为，半径圆心到直线的距离9分，解得所求的直线方程为或9、（惠州市2009届高三第一次调研考试）已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖()试求圆的方程()若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程解:()由题意知此平面区域
12、表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是 ()设直线的方程是:因为,所以圆心到直线的距离是,即解得: 所以直线的方程是: 10已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在,求出直线l的方程;若不存在说明理由。解：圆C化成标准方程为假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CMl，kCMkl= -1 kCM=， 即a+b+1=0，得b= -a-1 直线l的方程为y-b=x-a，即x-y+b-a=0 CM=以AB为直径的圆M过原点，把代入得，当, 直线l的方程为x-y-4=0；当, 直线l的方程为x-y+1=0故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0参考例题：1、 过点且与轴相切的圆有且只有一个，求实数的值和这个圆的方程解析:由题意，设所求圆的方程为，点在圆上，将上式代入下式并整理得：满足条件的圆有且只有1个，方程有且只有1个根，或即或或当时，所求圆的方程为当时，所求圆的方程为