1、第3讲 函数的表示方法知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；2列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-图象法、列表法、解析法，分段函数的概念难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；问题1已知二次函数满足，
2、求方法一：换元法令，则，从而所以方法二：配凑法因为所以方法三：待定系数法因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出问题2：已知函数满足，求因为以代得由联立消去得热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数例1 （09年广东南海中学）一水池有个进水口, 个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天点到点,该水池的蓄水量如图丙所示给出以下个论断：进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）点到点只进水不出水；（2）点到点不进水只出水；（3）点到点不进水不出水则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路根据题意和
3、所给出的图象，对三个论断进行确认即可。解析由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。新题导练1(05辽宁改)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由
4、关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）A B C D 解析 A.；令，则等价于，是由点组成，而又知道，所以每各点都在y=x的上方。2(2005湖北)函数的图象大致是( )解析 D；当时，可以排除A和C；又当时，可以排除B考点2：用列表法表示函数例2 （07年北京）已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析由表中对应值知=；当时，不满足条件当时，满足条件，当时，不满足条件，满足的的值是【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。新题导练3
5、（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：映射f的对应法则是表1原象1234象3421映射g的对应法则是表2原象1234象4312 则与相同的是（ ）A；B；C；D解析 A；根据表中的对应关系得，4（04年江苏改编）二次函数（R）的部分对应值如下表：3210123460466406则不等式的解集是 解析 ；由表中的二次函数对应值可得，二次方程的两根为2和3，又根据且可知，所以不等式的解集是考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例3 （04湖北改编）已知=，则的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换
6、元法解析 令，则， .故应填【名师指引】求函数解析式的常用方法有： 换元法（ 注意新元的取值范围）； 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；整体代换（配凑法）；构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。题型2：求二次函数的解析式 例4 （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数满足，且。求的解析式；在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。解题思路（1）由于已知是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求对于恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。解析设，则与已知条件比较得：解之得，又，由题意得：即对恒成立，易得【名师指引】
7、如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。新题导练5（06全国卷二改编）若，则 解析 ；所以,因此6（09年潮州金山中学）设是一次函数，若且成等比数列，则 ；解析；设，由得，从而又由成等比数列得，解得所以，7（华侨中学09届第3次月考（09年中山）设 ，又记则 （ ）A；B；C；D；解析 C；由已知条件得到，可见，是以4为周期的函数，而，所以，8设二次函数满足,且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求的解析式。解析 ；设f(x)=ax2+bx+c，由f(x)满足f(x2)=f(x2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=
8、2，所以由y=f(x)图象在y轴上的截距为1，可得，即c=1由y=f(x) 图象在x轴上截得的线段长为，可得所以联立方程组，可解得所以f(x)=.考点4：分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式例5 (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教
9、室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）解析 （）观察图象，当时是直线，故；当时，图象过所以，即，所以（），所以至少需要经过小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。题型2：由分段函数的解析式画出它的图象例6 (2006上海)设函数，在区间上画出函数的图像。思路点拨需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 ,如右上图.【名师指引】分
10、段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。新题导练9（09年潮州金山中学）已知函数，则 解析 2；由已知得到10（06山东改编）设则不等式的解集为 解析 ；当时，由得，得当时，由得，得备选例题1： (2005江西)已知函数（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式；解析（1）将得（2）不等式即为即当当.备选例题2：（06重庆）已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数
11、，使得，求函数的解析表达式 抢分频道基础巩固训练：1（09年广州高三年级第一学期中段考）函数的图象如图2所示.观察图象可知函数的定义域、值域分别是（ ）O-52625图2A.,；B. C.,；D.解析 C；由图象可以看出，应选择C2（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是（ ）48yot48yot48yot48yot解析 B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随x的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，选B3（20
12、04湖南改编）设函数若,则关于的方程的解的个数为 解析 3；由,可得，从而方程等价于或，解得到或，从而得方程的解的个数为34（05江苏）已知为常数，若，则= 解析 2；因为，所以又，所以，解得或，所以5对记，函数的最小值是（ ）A.；B. ；C.；D.解析 C；作出和的图象即可得到函数的最小值是6（中山市09届高三统测）已知函数 其中， 。作出函数的图象；解析 函数图象如下：说明：图象过、点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段综合提高训练：7（09年惠州第二次调研考）如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMN
13、PA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解析 B；过点作垂直于平面的直线，当点运动时，线与正方体表面相交于两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出与的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大8（06重庆）如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ ）解析 D；如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D. 9（06福建）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解析（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是，由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。