1、第二章基本知能检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(20132014学年度河北玉田县高二期中测试)推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的方法是()A归纳推理B类比推理C演绎推理D合情推理答案C解析演绎推理是由一般到特殊的推理，当前提为真时，结论必然为真，上述推理是演绎推理2求证：.证明：因为和都是正数，所以为了证明，只需证明()2()2，展开得525，即20，显然成立，所以不等式.上述证明过程应用了()A综合法B分析法C综合法
2、、分析法配合使用D间接证法答案B解析根据证明过程可以看出符合执果索因的证法，故为分析法3给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sinsin；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是()A0B1C2D3答案B解析只有正确，故选B.4观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)答
3、案D解析由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g(x)g(x)5设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D.答案B解析(3)23a3b 3ab，ab1()(ab)2224当且仅当即ab时等号成立，故选B.6a、b、c、d均为正实数，设S，则下列判断中正确的是()A0S1B1S2C2S3D3S4答案B解析令abcd1知S，因11，a，b，则正确的结论是()AabBab，则.2，c1c124c；即c矛盾，选B.11观察下列等式：11，131，123, 13239，1236, 13233336，123410, 13233343100，1234515, 1323334
4、353225. 可以推测：132333n3可表示为()A.n(n1)B.n2(n1)2C.n2(n1)2D.n2(n1)2答案D解析由112,932,3662,100102，知132333n3(123n)22，故选D.12如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|M(x)恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函数，下面四个函数：f(x)1；f(x)x2；f(x)(sinxcosx)x；f(x).其中属于有界泛函数的是()ABCD答案D解析sinxcosxsin(x)，存在常数M成立|sinxcosx|M，|x(sinxcosx)|M(x)，即|f(x)|M(x)成立，是有
5、界泛函数；x2x1(x)2，|，存在常数M，使M(x)，即|f(x)|M(x)成立，是有界泛函数，因此选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_答案表面积一定的空间体中，球的体积最大解析平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”14已知f(x)是奇函数，那么实数a的值等于_答案1解析因为f(x)(xR)是奇函数，则f(x)f(x)0，所以a1.15已知数列
6、an，a1，an1，则a2、a3、a4、a5分别为_，猜想an_.答案，解析每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数16已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am、an使得4a1，则的最小值为_答案解析an为等比数列，an0，a7a62a5，a1q6a1q52a1q4，q2q20，q1或2.an0，q2.4a1，a1qm1a1qn116a，qmn216，即2mn224，mn6，(mn)()(5)，等号在，即m2，n4时成立三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)已知a是整数，a2是偶数求证：a是偶数证明假设a不是偶数，
7、即a是奇数，则设a2n1(nZ)a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，从而a一定是偶数18(本题满分12分)观察下列数表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 008是第几行的第几个数？解析(1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n1行的第一个数为2n，第n行的最后一个数为2n1.(2)由(1)知第n1行的最后一个数为2n11，第n行的第一个数为2n1，第n行的最后一个数为2n1.又观察知，每行数字的个数与这一行
8、的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得Sn22n322n22n2.(3)因为2101 024,2112 048，又第11行最后一个数为21112 047，所以2 008是在第11行中，由等差数列的通项公式得2 0081 024(n1)1，所以n985，所以2 008是第11行的第985个数19(本题满分12分)已知a、b是不相等的正数，且a3b3a2b2，求证1aba2abb2ab，即(ab)2ab，且a0，b0，ab1.要证ab，只需证3(ab)4，即证3(ab)24(ab)，也就是要证3(ab)20.而(ab)20显然成立，1ab.20(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(
9、2)(1)求证：tan(x)；(2)设xR且f(x1)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论解析(1)tan(x).(2)f(x)是以4为其一个周期的周期函数f(x2)f(x1)1)，f(x4)f(x2)2)f(x)f(x)是周期函数，其中一个周期为4.21(本题满分12分)已知f(x)x3x1(xR)(1)求证：yf(x)是定义域上的减函数；(2)求证：满足f(x)0的实数根x至多只有一个证明(1)f(x)3x21(3x21)0(xR)，yf(x)是定义域上的减函数(2)假设f(x)0的实数根x至少有两个，不妨设x1x2，且x1、x2R，f(x1)f(x2)0.yf(x)在R上单调递减，当x1f(x2)，当x1x2时，f(x1)0，b1a0.(ax2by2)(axby)2(aa2)x22abxy(bb2)y2a(1a)x22a(1a)xya(1a)y2a(1a)(x22xyy2)a(1a)(xy)2，又a0,1a0，(xy)20，(ax2by2)(axby)20，即ax2by2(axby)2.