1、课后素养落实(十八)抛物线的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B2若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2 C4 D4Dy22px的焦点为，而椭圆的右焦点为(2，0)，由2得p4故选D3已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1 C DC抛物线的准线方程为x
2、2，则焦点为F(2，0)从而kAF4抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为()A2 B4 C6 D4D如图，由抛物线的定义知PMl在RtMQF中，|QF|2，QMF30，|MF|4，FPM是等边三角形，SPMF424故选D5如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)()A(2)a B2(1)aC5
3、a D6aC依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30方向2 km处，B到点A的水平距离为3(km)，B到直线l距离为325(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C二、填空题6抛物线yx2上的动点M到两定点F(0，1)，E(1，3)的距离之和的最小值为_4抛物线标准方程为x24y，其焦点坐标为(0，1)，准线方程为y1，则|MF|的长度等于点M到准线y1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，3)到直线y1的距离即最小值为47在抛物线y212
4、x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_(6，6)或(6，6)设所求点为P(x，y)，抛物线y212x的准线方程为x3，由题意知3x9，即x6代入y212x，得y272，即y6因此P(6，6)或P(6，6)8设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_6因为0，所以点F为ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xAxBxC3，所以|xA1xB1xC16三、解答题9探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标解如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直
5、角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，且在抛物线上，代入方程，得3022p40，解得p故所求抛物线的标准方程为y2x，焦点坐标是10如图所示，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M (1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2，所以抛物线的方程为y24x(2)由题意得A(4，4)
6、，B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，所以kAF，则FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则MN的方程为yx2解方程组得所以N11(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y210x的有()A焦点在x轴上B抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C焦点到准线的距离为5D由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)ACD抛物线y210x的焦点在x轴上，A满足；设M(1，y0)是抛物线y210x上一点，则|MF|116，所以B不满足；因为y210x中p5，所以焦准距为5，所以C满足；由于抛物线y210x的焦点为，设过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，
7、垂足为(2，1)，则k2，此时直线存在，所以D满足所以满足抛物线y210x的有ACD12过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为()A6 B9 C12 D无法确定C过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M，D，如图所示，由抛物线的定义，得|AF|AC|，|BF|BD|，M为AB的中点，且|MM|6，|AC|BD|12，即|AB|AF|BF|1213已知抛物线C的焦点F与椭圆1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为_若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且xx1x3，又log2x1log2x
8、2log2x33，则|P2F|_y24x3椭圆1的右焦点为(1，0)，1，p2所以抛物线C的标准方程为y24x由抛物线的方程为y24x，可得焦点F(1，0)，准线方程为x1，xx1x3，且log2x1log2x2log2x33，log2x3，解得x22，|P2F|x2(1)314已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x212y设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到圆心C(0，3)的距离与直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y15如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|18m，拱顶距离水面8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF若|CD|9m，那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥？解如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(9，8)设抛物线方程为x22py(p0)B点在抛物线上，812p(8)，p，抛物线的方程为x2y当x时，y2，即|DE|826|DE|不超过6m才能使货船通过拱桥