1、(理)第2讲 计数原理 二项式定理 高考总复习大二轮 数 学 考情考向高考导航1以实际生活为背景考查计数原理，排列与组合的简单应用，以客观题形式出现，难度中档2考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题，以选择题的形式出现，难度低中档真题体验1(2018全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：当有 1 位女生入选时，有 C12C2412(种)，当有 2 位女生入选时，有 C22C144(种)，由分类加法计数原理可得不同选法共有 12416(种)答案：162(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4
2、 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有()A12 种 B18 种C24 种D36 种解析：D 只能是一个人完成 2 份工作，剩下 2 人各完成一份工作由此把 4 份工作分成 3 份再全排得 C24A3336.3(2018全国卷)x22x5 的展开式中 x4 的系数为()A10 B20C40 D80解析：C x22x5 的第 k1 项为 Tk1Ck52kx103k.令 103k4，得 k2.x4 的系数为 C252240.4(2019全国卷)(12x2)(1x)4 的展开式中 x3 的系数为()A12 B16C20 D24解析：A 本题主要考查二项式定理，利
3、用展开式通项公式求展开式指定项的系数由题意得 x3 的系数为 C342C144812，故选 A.主干整合1排列与组合公式(1)Amn n(n1)(n2)(nm1)n！nm！.(2)Cmn AmnAmmnn1n2nm1m！n！m！nm！.(3)Cmn Cnmn；Cmn1Cmn Cm1n.(4)Cmn nmCm1n1 nnmCmn1nm1mCm1n.2二项式定理(1)(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn，二项展开式的通项 Tr1Crnanrbr.(2)在二项展开式中，CrnCnrn(r0,1,2，n)(3)C0nC1nCnn2n.(4)相邻项的二项式系数的关系为 Cmn C
4、m1nCmn1.热点一 计数原理的简单应用题组突破1(2019石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有 4 种报名方法，共有 45 种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一落实，每个冠军有 5种获得的可能性，共有 54 种获得冠军的可能性答案：45；542(2020大连模拟)现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从
5、甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有_种解析：分两类：第一道工序安排甲时有 114312 种；第一道工序不安排甲有 124324 种共有 122436 种答案：363(2020百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有()1234A.9 种 B18 种C12 种D36 种解析：B 若种植 2 块西红柿，则他们在 13,14 或 24 位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有 326(种
6、)种植方式；若种植 2 块黄瓜或 2 块茄子也是 3 种种植方式，所以一共有 6318(种)种植方式(1)在应用分类加法计算原理和分步乘法计算原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化热点二 排列与组合的应用数学建模素养数学建模排列组合问题中的核心素养用排列组合解决实际问题的关键是排列组合模型，将实际问题抽象为数学问题，充分体现了“数学建模”的核心素养.例 1(1)(2020潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育：“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就
7、是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A120 种 B156 种C188 种D240 种解析 A 当“数”排在第一节时有 A22A4448(种)排法，当“数”排在第二节时有 A13A22A3336(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有 A22A3312(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有 A12A22A3324(种)排法，所以满足条件的共有 4
8、8361224120(种)排法(2)(2020吉林调研)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析 法一：只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有 C12种方法；再选 3 名男生，有 C36种方法；然后排队长、副队长位置，有 A24种方法由分步乘法计数原理，知共有 C12C36A24480(种)选法有 2 名女生时，再选 2 名男生，有 C26种方法；然后排队长、副队长位置，有 A24种方法由分步乘法计数原理，知共有 C26A24180(种)选法所以依据分类加法计数原
9、理知共有 480180660(种)不同的选法法二：不考虑限制条件，共有 A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有 A26C24种故至少有 1 名女生的选法有 A28C26A26C24840180660(种)答案 660(3)(2018浙江卷)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)解析 C25C23A44C13C25C13A337205401 260.答案 1 260求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径(1)
10、以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”(1)(2020福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排 6 位志愿者到 4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下的两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A90 种B180 种C270 种D360 种解析：B 可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有 A26种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有 C
11、24C22种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案的种数为 A26C24C22180.故选 B.(2)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种解析：记 5 件产品为 A、B、C、D、E，A、B 相邻视为一个元素，先与 D、E 排列，有 A22A33种方法；再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共有 A22A33C1326336 种不同的摆法答案：36热点三 二项式定理的应用与特定项有关的问题例 21(1)(2020揭阳模拟)已知(x1)ax1x5 的展开式中常数项为40，则 a 的值为()A2 B2C2 D4解析
12、C ax1x5 展开式的通项公式为Tk1Ck5(ax)5k1xk(1)ka5kCk5x52k，令 52k1，可得 k3，结合题意可得(1)3a53C3540，即 10a240，a2.(2)(2019汉中二模)x1x2 5 的展开式中整理后的常数项为_解析 x1x2 5x 1x10 的通项公式：Tr1Cr10(x)10r1xrCr10 x5r，令 5r0，解得 r5.所以常数项C510252.答案 252展开式中系数的和例 22(1)(2020德州调研)(ax)(1x)4 的展开式中 x 的奇数次幂的项的系数之和为 32，则 a_.解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5
13、x5.令 x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5.，得 16(a1)2(a1a3a5)232，a3.答案 3(2)(2019宁夏二模)已知(axb)6 的展开式中含 x4 项的系数与含x5 项的系数分别为 135 与18，则(axb)6 的展开式中所有项系数之和为()A1 B1C32 D64解析 D 由二项展开式的通项公式可知含 x4 项的系数为 C26a4b2，含 x5 项的系数为 C16a5b，则由题意可得C26a4b2135，C16a5b18，解得 ab2，故(axb)6 的展开式中所有项的系数之和为(ab)664，故选 D.与二项式定理有
14、关的类型及解法类型解法求特定项或其系数常采用通项公式分析求解系数的和或差常用赋值法近似值问题利用展开式截取部分项求解整除(或余数)问题利用展开式求解(1)(2019石家庄二模)设 a0sin xdx，则a x 1x6 的展开式中常数项是()A160 B160C20 D20解析：A 依题意得，a(cos cos 0)2，a x 1x62 x 1x6 的展开式的通项 Tr 1Cr6(2 x)6 r 1xrCr626r(1)rx3r.令 3r0，得 r3.因此a x 1x6 的展开式中的常数项为 C3623(1)3160，故选 A.(2)(2019兰州二模)已知(x22x3y)5 的展开式中 x5y
15、2 的系数为()A60 B180C520 D540解析：D(x22x3y)5 可看作 5 个(x22x3y)相乘，从中选 2个 y，有 C25种选法；再从剩余的三个括号里边选出 2 个 x2，最后一个括号选出 x，有 C23C11种选法；所以 x5y2 的系数为 32C25C232C11540.(3)(2019烟台三模)若将函数 f(x)x5 表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中 a0，a1，a2，a5 为实数，则 a3_.解析：f(x)x5(1x1)5，它的通项为 Tk1Ck5(1x)5k(1)k，T3C25(1x)3(1)210(1x)3，a310.答案：10