1、 数学（文科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第卷（选择题，满分60分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合，则A B C D2已知为实数，为虚数单
2、位，且（为实数集），则A B C D3. 函数的大致图象为4. 某人口大县举行“只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩小于等于90分的会被淘汰,某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示,则会被淘汰的人数为A350 B450 C480 D3005. 已知满足，则A B C D6. 等差数列中，则A. 5 B. 10 C. 15 D. 207. 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体。已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为A B C D8. 如图，在正方形中，是的中点，若，则
3、A. B. C. D9. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列的前项和的取值范围是A. B. C. D. 10. 已知点在函数的图象上，设，则的大小关系为A BC D11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，又为双曲线的离心率，则的值为AB C D12. 若存在，使得函数与在这两函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为AB C D 第卷（非选择题，满分90分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为
4、必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13. 曲线在点处的切线的斜率为 .14. 若向量与向量共线，则的值是 15已知点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则点的横坐标为 16已知均为正实数，则的最小值为 .三、解答题（本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示，又函数（1）求函数的单调减区间；（2）设的内角，的对边分别为，又，且锐角满足，若，求的值。18.（本小题满分12分）某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二
5、等奖、三等奖的代表队人数情况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中一等奖代表队有6人。名次性别一等奖代表队二等奖代表队三等奖代表队男生30？20女生302030（1）求二等奖代表队的男生人数；（2）从前排就坐的三等奖代表队员5人（2男3女）中随机抽取人上台领奖，请求出只有一个男生上台领奖的概率；（3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生内的两个均匀随机数，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖。求代表队队员获
6、得奖品的概率。19.（本小题满分12分）如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，对角线与相交于点，点在线段上且， 与底面所成角为。（1）求证：；（2）为线段上一点，且，求异面直线与所成角的余弦值。20.（本小题满分12分）已知函数（1）当时，恒成立，求正实数的取值范围；（2）当时，探索函数在上的零点个数，并说明理由。21.（本小题满分12分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”。过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”。已知椭圆上的点的下辅助点为。（1）求椭圆E的方程；（2）若的面积等于，求下辅助点的坐标；（3）已知
7、直线：与椭圆交于不同的，两点，若椭圆上存在点，满足，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线。（1）点为曲线上任意一点，写出曲线的参数方程，并求出的最大值；（2）设直线l的参数方程为，（为参数），又直线与曲线的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程。23（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数， （1）解不等式；（2）当，时，若的值域为
8、，求证：。数学（文科）试题参考答案及评分意见一、选择题（125=60分）题号123456789101112答案DDBAABCCADCC二、填空题（45=20分）13. 14. 15. 16.三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）【解析】（1）由函数的部分图象可得,即,则，又函数图像过点 ，则，即，又，即，（每值1分）即，则 4分由，得，所以函数的单调减区间为6分（少扣1分）（2）由，得，因为，所以，所以，又，由正弦定理得 8分由余弦定理，得，即由解得， 11分所以 12分18（本小题满分12分）【解析】(1)设代表队共有人，则，所以，则三等
9、奖代表队的男生人数为，故所求二等奖代表队的男生人数为人。3分（2）设男生为，女生为，随机抽取3人，包括的基本事件为，个数为10个，只有一个男生上台领奖基本事件为，个数为6个，所以只有一个男生上台领奖的概率为。8分(3)试验的全部结果所构成的区域为，面积为，事件表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，如图阴影部分的面积为，这是一个几何概型，所以。即代表队队员获得奖品的概率为。 12分19（本小题满分12分）【解析】（1）因为在长方体中，有平面，所以， 因为四边形是正方形，所以，又从而平面 而平面，所以。 5分（2）因为在长方体中，有与平面所成角为，由（1）知为直线与平面所成的角，所以，所以由可知
10、，所以，又，即，故，在上取一点，使，连接，则在长方体中，有，且，所以四边形为平行四边形，所以，在上取一点，使因为，所以,所以在正方形中，所以（）。所以，所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角，在中， ，在中，由余弦定理得，则，又在中，由余弦定理得。故所求余弦值为。 12分20（本小题满分12分）【解析】（1）因为，所以，令，再令，所以在上单调递减，所以。 3分所以，则在上单调递减，所以，所以，又，即正实数的取值范围是. 5分（2），则， 7分因，故，又，故对恒成立，即在区间单调递增；又，； 10分故当时，此时在区间内恰好有个零点；当时，此时在区间内没有零点。12分21（本小题满分12分）【
11、解析】（1）椭圆上的点的下辅助点为，辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，将点代入椭圆方程中，解得，椭圆的方程为； 4分（2）设点，则点，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，故，即，又，则 6分将与联立可解得或，下辅助点的坐标为或； 7分（3）由题意可设，.联立整理得，则.根据韦达定理得 ， 8分因为. 所以，因为点在椭圆上，所以，整理得，即 10分在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.令，得，令，得.所以三角形面积为当且仅当，时，取等号，此时.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为. 12分22（本小题满分10分）【解析】（1）将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线的方程为，也即，故曲线的参数方程为为参数）； 2分又点为曲线上任意一点，所以，所以的最大值为； 5分（2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为，又直线l的参数方程为，（为参数），所以直线的普通方程为，所以有解得或， 8分所以线段的中点坐标为，即线段的中点坐标为，直线的斜率为，则与直线垂直的直线的斜率为，故所求直线的直角坐标方程为，即，将代入，得其极坐标方程为 10分23（本小题满分10分）【解析】（1）不等式化为，即，等价于或，由解得，由解得或， 4分所以不等式的解集为 5分（2）根据绝对值三角不等式可知， 7分因为的值域为所以，则，故，当且仅当，即时取等号时，由基本不等式可得10分