1、第四章 指数函数与对数函数 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 指数与对数的运算【例 1】计算：(1)2log32log3329 log385log53；(2)1.51376080.254 2(3 2 3)6.解(1)原式log32283293231.(2)原式23132342142233231321427110.指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质
2、并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.跟进训练1设 3x4y36，则2x1y的值为()A6 B3 C2 D1D 由 3x4y36 得 xlog336，ylog436，2x1y2log363log364log369log364log36361.指数函数、对数函数的图象及应用【例 2】(1)若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列图像函数正确的是()A B C D(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)12x.如图，画出函数 f(x)的图象；根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域(1)B 由已知函数图象可得，lo
3、ga31，所以 a3.A 项，函数解析式为 y3x，在 R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为 y(x)3x3，当 x0 时，y0，这与图象不符；D 项中函数解析式为 ylog3(x)，在(，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为 yx3，与图象相符故选 B.(2)解 先作出当 x0 时，f(x)12x的图象，利用偶函数的图象关于 y 轴对称，再作出 f(x)在 x(，0)时的图象 函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0，)，值域为(0,1 1识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(
4、3)特殊点对应的函数值 2指数函数与对数函数图象经过定点的实质是 a01，loga10.跟进训练2函数 y1log12(x1)的图象一定经过点()A(1,1)B(1,0)C(2,1)D(2,0)C 把 ylog12x 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位即可得到 y1log12(x1)的图象，故其经过点(2,1)比较大小【例 3】若 0 xy1，则()A3y3xBlogx3logy3Clog4xlog4yD.14x14yC 因为 0 xy1，则对于 A，函数 y3x 在 R 上单调递增，故 3x3y，A 错误对于 B，根据底数 a 对对数函数 ylogax 的影响：当 0a1 时
5、，在 x(1，)上“底小图高”因为 0 xylogy3，B 错误对于 C，函数 ylog4x 在(0，)上单调递增，故 log4x14y，D 错误1比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等 2当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较 3比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小 4含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论跟进训练3设 alog2，blog12，c2，则()Aabc BbacCacbDcbaC alog2log221，blog12log1210，c2 12，
6、即0ccb，故选 C.指数函数、对数函数的性质【例 4】(1)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知 a0，a1 且 loga3loga2，若函数 f(x)logax 在区间a,3a上的最大值与最小值之差为 1.求 a 的值；若 1x3，求函数 y(logax)2loga x2 的值域(1)A 由题意可得，函数 f(x)的定义域为(1,1)，且 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故f(x)为奇函数又 f(x)ln1x1x
7、ln21x1，易知 y 21x1 在(0,1)上为增函数，故 f(x)在(0,1)上为增函数(2)解 因为 loga3loga2，所以 f(x)logax 在a,3a上为增函数 又 f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为 1，所以 loga(3a)logaa1，即 loga31，所以 a3.函数 y(log3x)2log3 x2(log3x)212log3x2log3x1423116.令 tlog3x，因为 1x3，所以 0log3x1，即 0t1.所以 yt14231163116，52，所以所求函数的值域为3116，52.1把本例(1)的函数 f(x)改为“f(x)ln(x 1x2)”，
8、判断其奇偶性解 f(x)ln(x 1x2)，其定义域为 R，又 f(x)ln(x 1x2)，f(x)f(x)ln(x 1x2)ln(x 1x2)ln 10，f(x)f(x)，f(x)为奇函数 2把本例(2)中的函数改为“ya2xax1”，求其最小值解 由题意可知 y32x3x1，令 3xt，则 t3,27，f(t)t2t1t12254，t3,27，当 t3 时，f(t)最小值f(3)93111.1研究函数的性质要树立定义域优先的原则 2换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题该类问题中，常设 ulogax 或 uax，转化为一元二次方程、二次函数等问题要注意换元后 u 的取值范围函数的
9、应用【例 5】一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1)解(1)最初的质量为 500 g.经过 1 年，w500(110%)5000.9；经过 2 年，w5000.92；由此推知，t 年后，w5000.9t.(2)由题意得 5000.9t250，即 09t0.5，两边同时取以 10 为底的对数，得 lg 0.9tlg 0.5，即 tlg 0.9lg 0.5，所以 tlg 0.5lg 0.96.6.即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年指数函数模型的
10、应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示通常可以表示为 yN(1p)x(其中 N为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式跟进训练4某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解 设过滤 n 次能使产品达到市场要求，依题意，得 210023n11 000，即23n 120.则 n(lg 2lg 3)(1lg 2)，故 n 1lg 2lg 3lg 27.4，考虑到nN，故 n8，即至少要过
11、滤 8 次才能达到市场要求培 优 层 素 养 升 华【例】电子工业部扬声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用 AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板长期以来，由于对 AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响产品质量经过试验，已有一些恰当用胶量的具体数据，见下表：序号12345 磁钢面积/cm211.019.426.246.656.6用胶量/g0.1640.3960.4040.6640.812 序号678910 磁钢面积/cm267.2125.2189.0247.1443.4用胶量/g0.9721.6882.864.0767.332 现在需
12、要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系思路分析 画出散点图，利用散点图确定函数模型，再利用待定系数法求出关系式 解 将磁钢面积 x 作为横坐标，用胶量 y 作为纵坐标，建立平面直角坐标系，根据上表数据在坐标系中描点，得散点图如图所示 从图中可以看出这些点基本上在一条直线附近，画出一条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧用函数 ykxb(k0)表示用胶量与磁钢面积的关系取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标分别代入直线方程 ykxb(k0)，得方程组0.81256.6kb，2.86189.0kb，解得k0.015 47，b0.063 60.所以
13、用胶量与磁钢面积的函数关系可表示为 y0.015 47x0.063 60.1数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数，计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题2本例通过一些数据寻求事物的规律，先画出这些数据的散点图，然后利用散点图的整体特征，选择我们熟悉的函数模型，将一些数据代入求得表达式，进而使例题得以求解，很好地考查了学生的数学建模的核心素养素养提升18 世纪 70 年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位
14、)如下表：行星 1(金星)2(地球)3(火星)4()5(木星)6(土星)7()距离0.71.01.65.210.0他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？解 根据题意画出散点图如图所示，由此图知宜采用指数型函数做模型 设 f(x)abxc，代入前三组数据，得 a 320，b2，c25.所以 f(x)3202x25.把 x5 和 x6 分别代入检验，得 f(5)265 5.2，f(6)10，刚好符合 所以 f(4)2.8，f(7)19.6.所以谷神星大约在离太阳 2.8 天文单位处在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是 19.6 天文单位Thank you for watching!
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