1、课时作业51空间角的求法1(2014福建卷)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值解：(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0，0，0)，C
2、(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M(0，)，则BC(1，1，0)，BM(0，)，AD(0，1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1，1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin|cosn，AD|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.2(2015广东卷)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值解：
3、(1)证明：PDPC，E为DC的中点，PEDC.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面ABCD.又FG平面ABCD，PEFG.(2)取AB中点H，连接EH，由(1)知PEDC，PEEH，由于四边形ABCD为矩形，所以HEDC，故以EH、EC、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系故由PD4，ABCD6得EP，即P(0，0，)，D(0，3，0)，A(3，3，0)，PD(0，3，)，PA(3，3，)设平面PAD的一个法向量为m(x，y，z)，则即解得令z3，则m(0，3)而平面ABCD的一个法向量n(0，0，1)，设二面角PADC的平面角为，由图知为锐角，所
4、以cos，tan.(3)由(2)知PA(3，3，)，G(2，3，0)，F(3，1，0)，所以GF(1，2，0)设异面直线PA与FG所成角为，则cos.3(2015浙江卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值解：(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.A1EBCE且A1E，BC平面A1BC，故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB
5、1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以A1AED为平行四边形故A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB，EA1为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示由题意知各点坐标如下：A1(0，0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，)因为A1B(0，)，BD(，)，DB1(0，0)设平面A1BD的一个法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD的一个法向量为n(x2，y2，z2)由即可取m(0，1)由即可取n(，0，1)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1BDB1的
6、平面角的余弦值为.1(2015天津卷)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成的角的正弦值为，求线段A1E的长解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M，N(1，2，1)
7、(1)证明：依题意，可得n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量MN.由此可得MNn0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)AD1(1，2，2)，AC(2，0，0)设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z11，可得n1(0，1，1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的法向量，则又AB1(0，1，2)，得不妨设z21，可得n2(0，2，1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以，二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设A1EA1B1，其中0，1，则E(0，2)，从而NE(1，2，1)又n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量
8、，由已知，得cosNEn，整理得2430，又因为0，1，解得2.所以，线段A1E的长为2.2(2015江苏卷)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长解：以AB，AD，AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)(1)因为AD平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD(0，2，0)因为PC(1，1，2)，PD(0，2，2)设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则mPC0，mPD0.即令y1，解得z1，x1.所以m(1，1，1)是平面PCD的一个法向量从而cosAD，m，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为BP(1，0，2)，设BQBP(，0，2)(01)，又CB(0，1，0)，则CQCBBQ(，1，2)，又DP(0，2，2)，从而cosCQ，DP .设12t，t1，3，则cos2CQ，DP.当且仅当t，即时，|cosCQ，DP|的最大值为.因为ycosx在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，所以BQBP.
