1、第2课时等比数列的性质学 习 任 务核 心 素 养1掌握等比数列的性质及其应用(重点)2熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点)3能用递推公式求通项公式(难点)1通过灵活设项求解等比数列问题以及对等比数列性质的应用，培养数学运算素养2借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养在等差数列an中，存在很多的性质，如(1)若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(2)若mn2p，则aman2ap(3)若l1，l2，l3，l4ln成等差数列，则a，a，a，a，a也成等差数列那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？知识点1推广的等比数列的通项
2、公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anamqnm(m，nN*)如何推导anamqnm?提示由qnm，anamqnm1在等比数列an中，a54，a76，则a9_9因为a7a5q2，所以q2所以a9a5q4a5(q2)249知识点2“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk2已知数列an是等比数列，下列说法错误的是()Aa3，a5，a7成等比数列Ba1，a3，a9成等比数列Can，an1，an2成等比数列Dn3时，an3，an，an3成等比数列B
3、在等比数列中，若mn2p，则amana，即am，ap，an成等比数列，所以ACD正确，B错误，故选B知识点3等比数列项的运算性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，amana对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank13在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11()A25B25C10D20B在等比数列an中，712811910，a7a12a8a11a9a10原式(a7a12)225故选B知识点4两等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不
4、等于0的常数，则数列can，a，anbn，也为等比数列 类型1灵活设项求解等比数列【例1】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数思路探究本题由于涉及的数列的项比较特殊，巧妙设为对称项，会给解题带来方便解法一：设前三个数分别为，a，aq(q0)，则第四个数为2aqa由题意得，解得q2或q当q2时，a6，这四个数为3，6，12，18；当q时，a，这四个数为，法二：设后三个数分别为ad，a，ad，则第一个数为，因此这四个数为，ad，a，ad 由题意得解得或故这四个数为3，6，12，18或，法三：设第一个数为a，则第四个数为21
5、a，设第二个数为b，则第三个数为18b，则这四个数为a，b，18b，21a，由题意得解得或故这四个数为3，6，12，18或，巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成ad，a，ad若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2若四个正数成等比数列，可设为，aq，aq3跟进训练1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解法一：设前三个数依次为ad，a，ad，则第四个数为，由条件得解得或所以当a4，d4时，所求四个数为0，4，8，16；当a
6、9，d6时，所求四个数为15，9，3，1法二：设第一个数为a，则第四个数为16a，设第二个数为b，则第三个数为12b，这四个数为a，b，12b，16a，由题意得解得或故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1 类型2等比数列的性质及应用【例2】已知an为等比数列(1)等比数列an满足a2a4，求a1aa5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值思路探究利用等比数列的性质“若mnpq，则amanapaq”求解 解(1)等比数列an中，因为a2a4，所以aa1a5a2a4，所以a1aa5(2)由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，l
7、og3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法(1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐(2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等的性质等经常用到跟进训练2(1)已知在各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5B7C6D5(2)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的两个根，
8、则的值为()A或BC D或(1)A(2)D(1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3(a1a3)a2a5，a7a8a9(a7a9)a8a10，所以a2a850，所以a4a5a6(a4a6)a5a()35法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)(a7a8a9)(a4a5a6)2，所以a4a5a65又数列各项均为正数，所以a4a5a65(2)等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的两个根，a2a162又 a2 a16 a 2，a9，a9故选D 类型3由递推公式构造等比数列求通项【例3】已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4(
9、1)求a1的值；(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列如何由Sn2ann4转化为an的关系式？提示SnSn1an(n2).解(1)因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13(2)证明：因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1(n1)4，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以b12为首项，2为公比的等比数列两种递推公式构造等比数列的模型(1)由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)可得，这样就构造了
10、等比数列an(2)形如an1candn(cd，cd0)的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以dn1得，进而化归为等比数列还可以两边同除以cn1得，再利用累加法求出，即得an跟进训练3已知数列an，a1，an1an，试证明an3 为等比数列，并求an的通项公式证明令an1A，则an1an由已知条件知1，得A3，所以an13又a130，所以是首项为，公比为的等比数列于是an3，故an32 类型4等比数列的实际应用【例4】从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液，再用水填满，这样继续进行(1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发现
11、各次剩余的纯酒精数构成什么数列吗？(2)倒第5次后容器里还剩有纯酒精多少升？(精确到小数点后两位)解(1)倒第1次后，剩下的酒精是19 L，用水填满后，混合溶液浓度为100%，故第2次倒出的1 L混合溶液中含纯酒精1(L)，此时容器里还剩有纯酒精191918.05(L)每次倒完后剩下的纯酒精为原来的，即每次倒完后剩下的纯酒精是以a119为首项，q为公比的等比数列(2)由(1)知an19 (nN*)，a519190.95415.48(L)，故倒5次后容器中还剩有纯酒精15.48 L求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，
12、对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.跟进训练4孙子算经是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色”问：巢有几何？_6 561由题意可知堤、木、枝等各事物的数量构成以9为首项，9为公比的等比数列，由等比数列通项公式可知，巢的数量为a4993946 5611已知等差数列an的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10()A26B30C34D38C由题意可得：aa2a6，即(a2d) 2a2(a24d)，结合题意有：(a24)2a2(a216)，解得a22，则a10a28d28434故选C2已知数列
13、an为等比数列，Sn为等差数列bn的前n项和，且a21，a1016，a6b6 ，则S11()A44B44C88D88A由题意，数列an为等比数列，满足a21，a1016，根据等比数列的性质，可得a2a10116a，a60，可得a64，所以b6a64，则S1111b644，故选A3在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为_8设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2ac84，因为a2b0，b2(舍负)所以这3个数的积为abc4284已知在公比为q的等比数列an中，a5a9q，则a6(a22a6a10)的值为_a5a9q，
14、a4a8，a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)25(1)已知数列an为等比数列，a33，a1127，求a7；(2)已知an为等比数列，a2a836，a3a715，求公比q解(1)法一：相除得q89所以q43，所以a7a3q49法二：因为aa3a1181，所以a79，又a7a3q43q40，所以a79(2)因为a2a836a3a7，而a3a715，所以a33，a712或a312，a73所以q44或，所以q或q回顾本节知识，自我完成以下问题：,等比数列项的运算性质有哪些？提示在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，amana.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.