1、山东省济南市德润高级中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1复数（2+i）（|3+4i|i）的虚部为（）A3B7iC3iD72设向量，向量，若向量与向量共线，则m的值为（）ABC6D63设向量，向量，若向量与向量垂直，则n的值为（）ABCD4已知ABC是边长为a的正三角形，那么ABC平面直观图ABC的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da25如图，在ABC中，点D在BC边上，ADC60，CDAD2，BD4，则sinB的值为（）ABCD6已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（）A16B20C24D32
2、7用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（）ABCD8如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）A7cm2B8cm2C9cm2D11cm2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若，m，则mD若，m，则m10一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A圆柱的侧面积为2R2B圆锥的侧面积为
3、2R2C圆柱的侧面积与球面面积相等D圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：211如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）AAF与CN平行BBM与AN是异面直线CAF与BM是异面直线DBN与DE是异面直线12在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A异面直线BD1与B1C所成的角大小为90B四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C二面角D1BCB1的大小为30D正方体ABCDA1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13空间两个角，的两边分别对应平行，且60，则 14在四边形ABCD中，（
4、4，2），（7，4），（3，6），则四边形ABCD的面积为 15在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离为 16如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得CAB45，CBA75，AB120米，则AB：BC ，这条河的宽度为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知平面向量（3，4），（9，x），（4，y），且，（1）求与；（2）若2，+，求向量、的夹角的大小18在，2ccosCacosB+bcosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a
5、，b，c，_（1）求角C；（2）若c，求ABC的面积19如图，矩形 ADEF与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点（）求证：BM平面ADEF；（）求证：BC平面BDE20如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证：（1）平面AB1F1平面C1BF；（2）平面AB1F1平面ACC1A121在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD底面ABCD（1）证明：AB平面PAD；（2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值22如图，四边形ABCD中，ADC
6、，ADABBCCD，AEEC，沿对角线AC将ACD翻折成ACD，使得BDBC（1）证明：BECD；（2）求直线BE与平面ABD所成角的正弦值参考答案一、选择题（共8小题）.1复数（2+i）（|3+4i|i）的虚部为（）A3B7iC3iD7解：（2+i）（|3+4i|i）（2+i）（5i）11+3i，其虚部为3故选：A2设向量，向量，若向量与向量共线，则m的值为（）ABC6D6解：与共线，32（1）m0，解得m6故选：D3设向量，向量，若向量与向量垂直，则n的值为（）ABCD解：向量，向量，若向量与向量垂直，则 （）（）611+36（n2+9）119+390，则n，故选：D4已知ABC是边长为a
7、的正三角形，那么ABC平面直观图ABC的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da2解：正三角形ABC的边长为a，故面积为a2，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图ABC的面积为故选：A5如图，在ABC中，点D在BC边上，ADC60，CDAD2，BD4，则sinB的值为（）ABCD解：ADC60，CDAD2，可得ADC为等边三角形，可得AC2，C60，BC4+26，由余弦定理可得AB2AC2+BC22ACBCcosC4+3622628，即AC2，由正弦定理可得sinB，故选：D6已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（）A16B20C24D32解：正四棱锥PABCD的
8、外接球的球心在它的高PO1上，记为O，POAOR，PO13，OO13R，在RtAO1O中，R23+（3R）2得R2，球的表面积S16故选：A7用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（）ABCD解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为1球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选：B8如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）A7cm2B8cm2C9cm2D11cm2解：S9，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9已知，是空间中两个不同的平面，
9、m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若，m，则mD若，m，则m解：对于A，若m，n，则mn，故A正确；对于B，若m，m，则或与相交，故B错误；对于C，若，m，则m或m或m与相交，故C错误；对于D，若m，则m垂直内的所有直线，又，则m垂直内的所有直线，则m，故D正确故选：AD10一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A圆柱的侧面积为2R2B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球面面积相等D圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2解：A圆柱的侧面积2R2R4R2，因此A不正确；B圆锥的侧面积2RR
10、2，因此B不正确；C圆柱的侧面积4R2，因此与球面面积相等，可得C正确；D圆柱的体积R22R2R3，圆锥的体积2R，球的体积R3，可得它们的体积之比为3：1：2，因此D正确故选：CD11如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）AAF与CN平行BBM与AN是异面直线CAF与BM是异面直线DBN与DE是异面直线解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，AF与CN异面垂直，故A错误；BM与AN平行，故B错误；BM平面BCMF，F平面BCMF，A平面BCMF，FBM，由异面直线定义可得，AF与BM是异面直线，故C正确；DE平面ADNE，N平面ADNE，B平面
11、ADNE，NDE，由异面直线定义可得，BN与DE是异面直线，故D正确故选：CD12在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A异面直线BD1与B1C所成的角大小为90B四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C二面角D1BCB1的大小为30D正方体ABCDA1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为解：如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，D1C1平面BB1C1C，则D1C1B1C，又B1CBC1，D1C1BC1C1，B1C平面BC1D1，则B1CBD1，即异面直线BD1与B1C所成的角大小为90，故A正确；DD1底面ABCD，DD1DB，D
12、D1DC，再由BC平面DD1C1C，可得BCDC，BCD1C，得四面体D1DBC的每个面都是直角三角形，故B正确；由BC平面DD1C1C，可得BCD1C，BCCC1，即D1CC1为二面角D1BCB1的平面角，大小为45，故C错误；正方体ABCDA1B1C1D1的内切球的半径为，外接球的半径为，则正方体ABCDA1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13空间两个角，的两边分别对应平行，且60，则60或120解：如图，空间两个角，的两边对应平行，这两个角相等或互补，60，60或120故答案为：60或12014
13、在四边形ABCD中，（4，2），（7，4），（3，6），则四边形ABCD的面积为30解：（4，2），（7，4），（3，6），43260，（3，6），（4，2），四边形ABCD为矩形，|，|，四边形ABCD的面积为30，故答案为：3015在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离为4解：如下图所示：设D为等腰三角形ABC底面上的中点，则PD长即为P点到BC的距离又AD即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高BC6，ABAC5，易得AD4在直角三角形PAD中，又PA8PD故答案为 16如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得CAB45，C
14、BA75，AB120米，则AB：BC，这条河的宽度为（60+20）米解：在ABC中，CAB45，CBA75，ACB60，由正弦定理得，AC60+20，作CDAB，则CD的长为河宽，在RtADC中，CAB45，CDACsinCAD（60+20）60+20故答案为：，（60+20）米四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知平面向量（3，4），（9，x），（4，y），且，（1）求与；（2）若2，+，求向量、的夹角的大小解：（1）由得3x490，解得x12；由得94+xy0，解得y3；所以（9，12），（4，3）；（2）2（3，4），+（7，1）；所以374
15、125，|5，|5；所以cos，所以向量、的夹角为18在，2ccosCacosB+bcosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_（1）求角C；（2）若c，求ABC的面积解：若选择，（1）由正弦定理可得：，整理可得：a2+b2c2ab，由余弦定理可得cosC，因为C（0，），所以C（2）因为C，c，所以由余弦定理c2a2+b22abcosC，可得5a2+b2ab（a+b）23ab113ab，解得ab2，所以SABCabsinC若选择，2ccosCacosB+bcosA，（1）由正弦定理可得：2sinCcosCsinAcosB+
16、sinBcosAsinC，因为C为三角形内角，sinC0，所以可得cosC，因为C（0，），所以C（2）因为C，c，所以由余弦定理c2a2+b22abcosC，可得5a2+b2ab（a+b）23ab113ab，解得ab2，所以SABCabsinC19如图，矩形 ADEF与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点（）求证：BM平面ADEF；（）求证：BC平面BDE【解答】证明：（）取DE中点N，连结MN，AN在EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且由已知ABCD，所以MNAB，且MNAB所以四边形ABMN为平行四边形 所以BMAN
17、又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF （）在矩形ADEF中，EDAD又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以ED平面ABCD所以EDBC 在直角梯形ABCD中，ABAD2，CD4，可得在BCD中，因为BD2+BC2CD2，所以BCBD因为BDDED，所以BC平面BDE20如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证：（1）平面AB1F1平面C1BF；（2）平面AB1F1平面ACC1A1【解答】证明：（1）在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别
18、是AC，A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F；又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF（2）在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1；又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，又B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A121在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD底面ABCD（1）证明：AB平面PAD；（2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值【解答】（1）证明：底面ABCD是正方形，ABAD，平面PAD底面ABCD，平面PAD底面
19、ABCDAD，由面面垂直的性质定理得，AB平面PAD；（2）解：由题意，PBD在面PAD上的射影为PAD设ADa，则SPAD，PBD中，PDa，BDa，PBa，SPBD，面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为，面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为22如图，四边形ABCD中，ADC，ADABBCCD，AEEC，沿对角线AC将ACD翻折成ACD，使得BDBC（1）证明：BECD；（2）求直线BE与平面ABD所成角的正弦值【解答】（1）证明1：取CD的中点为K，连EK，BKAEEC，EKAD又ADCD，EKCD在BCD中，BCBD，BKCDCD平面BEK，BECD证明2：连DE，设CD1，则ADABBCBD，ED1，BE，BE2+DE2DB2，BEED又在等腰ABC中，BEAC，BE平面ACD，BECD（2）解：取AD的中点F，连EF，BF，AEEC，EFCD又ADCD，ADEF又由题意知ABD为等边三角形，ADBF，AD平面BEF在平面BEF内作EHBF于H，又EHAD，EH平面ABDEBH即为直线BE与平面ABD所成的角设CD1，则AD，EF，BF，sinEBHsinEBF，直线BE与平面ABD所成角的正弦值为