1、大寺中学2013届高三5月押题数学文试题一、选择题 本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合，则等于 （B）A B C D 解析：，故得=.选B.2对于非零向量“”是“”的 （ A ）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解析：由得，故.反之不然.选A.3函数（）的反函数是 （ D ）A B C D解析：由（），知，且解得，即.（）的反函数是.选D.4. 化简= （ B ）A B C D1解析：=.选B.5.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：若，则；若，且则；若，则；若
2、，且，则.其中正确命题的序号是( B )A.B.C.D.解析：当时，不一定成立所以错误.成立.成立.当,时,可以相交,所6. 若函数=（）的最小正周期为，则它的图象的一个对称中心为( A )A B C D解析：=，由（）的最小正周期为，知.令，得（），当时，有.选A.7.高三年级有6个班级参加学校运动会100米跑决赛，若在安排比赛赛道时不将甲班安排在第一及第二赛道上，且甲班和乙班不相邻，则不同的安排方法有 （ D ）A96种 B 192种 C216种 D312种解析：甲班不排在第一及第二赛道，且不与乙相邻，可先排甲，当甲排在第六赛道时共有种，当甲排在第三、四或五赛道时共有种，总的安排方法有96
3、+216=312种.选D.8设二次函数的值域为，则的最大值为( )A B C D解析：因为二次函数的值域为，所以有，即，所以，所以=1.当时，等号成立，所以最大值为.选 .xOy19. 已知的定义域为，的导函数的图象如右图所示，则 （ C ） A在处取得极小值 B在处取得极大值 C是上的增函数 D是上的减函数，上的增函数解析：依题意，在成立，故是上的增函数.选C.10. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 （ B ）A B C D解析：点在抛物线的准线上，可得p=4. 依据题意，可得双曲线的左顶点为，即.点在双曲线的渐近
4、线上，则得双曲线的渐近线方程为.由双曲线的性质，可得.，则焦距为.选BOABC11如图，在半径为3的球面上有、三点，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离是 （ B ）A B C D 解析：所在小圆的半径为=，. 在，得.、两点的球面距离是.选B.12.定义在上的函数满足，当时，则有 （ C ） A. B. C. D.解析：由得.当时，有，这时.于是的图象如图所示.由它的单调性及可知.选C.二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知等比数列满足 ，且成等差数列，则= .解析：设数列的公比为，则 ，.由已知得，即，得，解得，或（舍去）. ，=4.14.
5、若的展开式中第三项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数和为 . 解析：展开式的通项公式为，知，解得 . 展开式中所有项的系数和为=.15.已知为坐标原点，点.若点为平面区域上的动点，则的取值范围是 .解析：作出所表示的平面区域，知目标函数的取值范围是.16.设在中，角所对的边长分别为，给出下列条件：；.则能推出为锐角三角形的条件有 .(写出所有正确答案的序号)解析：由，得，知为钝角；由，知；由及正弦定理，得.或；由，得，即.，从而，即，得，知均为锐角.三、解答题： 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）设是锐角三角形，、分别是内角、
6、所对边长，并且.（）求角的值；（）若的面积等于，求、（其中）.解：（），即， .又是锐角三角形，从而. 5分 （）由（）及已知，得的面积=，. 由余弦定理知，将及代入，得由、可得.因此是一元二次方程的两个根，解此方程并由知，. 10分PCABDM18. （本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，为的中点.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.（）证明：取的中点，的中点，连接，.在菱形中，由于，为正三角形，则，又，故平面，从而.又，则四边形为平行四边形，所以.在中，故，所以平面.6分 （）由（）知，由题意知，又为的中点，面，则为二面角的平面角.在
7、中，易得，又，从而，故所求二面角的余弦值为. 12分 (注：若运用空间向量解答，可参照上述解法赋分)19. （本小题满分12分）某中学开设有A、B、C等三门选修课程，设每位申请的学生只申请其中一门课程，且申请其中任一门课程是等可能的，求该校的任4位申请的学生中：（）没有学生申请A课程的概率；（）每门课程都有学生申请的概率.解: （）所有可能的申请方式有种，而没有学生申请A课程的申请方式有种.记A=“没有学生申请A课程”，则=. 5分（）所有可能的申请方式有种，而每门课程都有学生申请的申请方式有（或）.记B=“每门课程都有学生申请”，则（或）. 12分20. （本小题满分12分） 已知函数（）.
8、（）若数列满足（）且，证明数列为等差数列；（）令（），求数列的前项和.（）证明： 由及，得，即.若，则有.由此推得与已知矛盾，.（，）.为以1为首项，为公差的等差数列. 6分 （）解：由（）可得.数列的通项公式是，=，=. 12分21. （本小题满分12分）已知是函数=的一个极值点，其中，.（）求与的关系表达式；（）求的单调区间；（）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.解：（） =，依题意有=，得；4分（）由（），得=.，当时，；当或时，.的单调递增区间是，单调递减区间是和；8分（）根据题意，=在时恒成立.即在时恒成立.，解得. 12分22. （本小题满分12分）已知是椭圆：的右焦点，过点且斜率为（）的直线与椭圆交于、两点，是关于轴的对称点.（）证明：点在直线上；（）设，求外接圆的方程.解：（）设直线：， ， ， ， ，由 ，得.又，则，所以，.而=，所以=，与共线且有公共点，、三点共线，即点在直线上.6分（）因为，所以=.又，解得，满足.代入，知是方程的两根，根据对称性不妨设，即， ，.由，关于轴的对称，知外接圆圆心一定在轴上，设外接圆的方程为，把代入方程得，即外接圆的方程为. 12分