1、第3课时利用导数解决函数的零点问题技法阐释1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)f (b)0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号.3.已知函数有零点求参数范围常用
2、的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.高考示例思维过程(2020全国卷)设函数f (x)x3bxc，曲线yf (x)在点处的切线与y轴垂直.(1)求b；(2)若f (x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x)
3、所有零点的绝对值都不大于1.依题意得f 0，即b0，故b.解(1)f (x)3x2b.(2)证明：由(1)知f (x)x3xc，f (x)3x2.令f (x)0，解得x或x.f (x)与f (x)的情况为： 技法一讨论或证明函数零点的个数典例1(2019全国卷)已知函数f (x)sin xln(1x)，f (x)为f (x)的导数证明：(1)f (x)在区间存在唯一极大值点；(2)f (x)有且仅有2个零点思维流程证明(1)设g(x)f (x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)0；
4、当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f (x)在存在唯一极大值点(2)f (x)的定义域为(1，)()当x(1,0时，由(1)知，f (x)在(1,0)单调递增，而f (0)0，所以当x(1,0)时，f (x)0，故f (x)在(1,0)单调递减又f (0)0，从而x0是f (x)在(1,0的唯一零点()当x时，由(1)知，f (x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f (0)0，f 0，所以存在，使得f ()0，且当x(0，)时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在(0，)单调递增，在单调递减又f (0)0，f 1ln
5、0，所以当x时，f (x)0.从而，f (x)在没有零点()当x时，f (x)0，所以f (x)在单调递减而f 0，f ()0，所以f (x)在有唯一零点()当x(，)时，ln(x1)1，所以f (x)0，从而f (x)在(，)没有零点综上，f (x)有且仅有2个零点点评：根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”设函数f (x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f (x)的极小值；(2
6、)讨论函数g(x)f (x)零点的个数解(1)由题意知，当me时，f (x)ln x(x0)，则f (x)，当x(0，e)时，f (x)0，f (x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f (x)0，f (x)在(e，)上单调递增，当xe时，f (x)取得极小值f (e)ln e2，f (x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)f (x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也
7、是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1)，又(0)0.结合y(x)的图象(如图)，可知，当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点 技法二已知函数零点个数求参数的取值范围典例2(2020全国卷)已知函数f (x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围思维流程解(1)当a1时，f (x)exx2，则f (x)ex1.当x0时，f
8、 (x)0时，f (x)0.所以f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f (x)exa.当a0时，f (x)0，所以f (x)在(，)单调递增，故f (x)至多存在一个零点，不合题意当a0时，由f (x)0可得xln a当x(，ln a)时，f (x)0.所以f (x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增故当xln a时，f (x)取得最小值，最小值为f (ln a)a(1ln a)()若0，则f (ln a)0，所以f (x)在(，ln a)存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln(2a)时，f (x)eea(x2)eln(2a)a
9、(x2)2a0.故f (x)在(ln a，)存在唯一零点从而f (x)在(，)有两个零点综上，a的取值范围是.点评：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题(2020贵阳模拟)已知函数f (x)kxln x(k0)(1)若k1，求f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)有且只有一个零点，求实数k的值解(1)若k1，则f (x)xln x，定义域为(0，)，则f (x)1，由f (x)0，得x1；由f (x)0，得0x1，f
10、(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)法一：由题意知，方程kxln x0仅有一个实根，由kxln x0，得k(x0)令g(x)(x0)，则g(x)，当xe时，g(x)0；当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0.g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e).当x时，g(x)0.又k0，要使f (x)仅有一个零点，则k.法二：f (x)kxln x，f (x)k(x0，k0)当x时，f (x)0；当0x时，f (x)0；当x时，f (x)0.f (x)在上单调递减，在上单调递增，f (x)minf 1ln，f (x)有且只有一个零点，1ln0，即k.
