1、专题二 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 高考总复习大二轮 数 学 考情考向高考导航1高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题2主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下真题体验1(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 223，则|ab|()A.15 B.55 C.2 55 D1解析：B cos 2cos2sin2 cos2 sin2 sin2 cos2 1tan2 tan2 1
2、23，tan2 15，tan 55，当 tan 55 时，ab2 55，a 55，b2 55，|ab|55；当 tan 55 时，ab2 55，a 55，b2 55，|ab|55.2(2017全国卷)设函数 f(x)cosx3，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线 x83 对称Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在2，单调递减解析：D 当 x2，时，x356，43，函数在该区间内不单调本题选择 D 选项3(2019全国卷)若 x14，x234 是函数 f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则()A2 B.32C1 D.12解析：A 由正弦函数图象可知T
3、2x2x134 42，T，2T 2 2.4(2019天津卷)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g4 2，则 f38()A2 B 2C.2D2解析：C 在 x0 处有定义的奇函数必有 f(0)0.f(x)为奇函数，可知 f(0)Asin 0，由|可得 0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得 g(x)Asin12x，由 g(x)的最小正周期为 2 可得 2，由 g4 2，可得 A2，所以 f(x)2sin 2x，f38 2sin
4、34 2.故选 C.主干整合1三角函数的图象及性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在22k，22k(kZ)上递增，在22k，32 2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增，在2k，2k(kZ)上递减在(2k，2k)(kZ)上都是增函数对称中心坐标(k，0)，kZ(k2，0)，kZ(k2，0)kZ对称轴方程渐近线xk2，kZxk，kZxk2(kZ)2.三角函数图象的两种变换方法热点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系题组突破1(2020资阳模拟)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(2,1)，则 tan24 等于()A7 B17C.
5、17D7解析：A 由角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(2,1)，可得 x2，y1，tan yx12，tan 2 2tan 1tan2 111443，tan24 tan 2tan41tan 2tan 443114317.2 (2020衡 水 调 研 卷)已 知 sin(3)2sin 32 ，则等于()A.12B.13C.16D16解析：D sin(3)2sin32 ，sin 2cos，即 sin 2cos，则 sin 4cos 5sin 2cos 2cos 4cos 10cos 2cos 212 16.3(2020衡水信息卷)已知曲线 f(x)x32x2x
6、 在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则 cos22 2cos23sin(2)cos()的值为()A.85B45C.43D23解析：A 由 f(x)x32x2x 可知 f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22 2cos23sin(2)cos()(sin)22cos23sin cos sin22cos23sin cos sin22cos23sin cos sin2cos2tan23tan 2tan21462585.(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公
7、式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等热点二 三角函数的图象及应用直观想象素养直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思想.例 1(1)(2020东营模拟)已知函数 f(x)sinx3(0)的最小正周期为，为了得到函数 g(x)cos x 的图象，只要将 yf(x)的图象()A向左平移 12个单位长度B向右平移 12个单位长度C向左平移512个单位长度D向右平移512个单位长度解析 A
8、 由题意知，函数 f(x)的最小正周期 T，所以 2，即 f(x)sin2x3，g(x)cos 2x，把 g(x)cos 2x 变形得 g(x)sin2x2 sin2x 12 3，所以只要将 f(x)的图象向左平移 12个单位长度，即可得到 g(x)cos 2x 的图象，故选 A.(2)(2020厦门模拟)函数 f(x)Asin(x)(0，|)的部分图象如图所示，将函数 f(x)的图象向右平移512个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数 g(x)在区间6，上的值域为1,2，则 _.解析 由函数 f(x)Asin(x)(0，|)的部分图象，则 A2，T21312 7122，解得 T，所以 2
9、，即 f(x)2sin(2x)，当 x3时，f3 2sin23 0，又|，解得 23，所以 f(x)2sin2x23，因为函数 f(x)的图象向右平移512个单位长度后得到函数 g(x)的图象，所以 g(x)2sin2x512 23 2cos 2x，若函数 g(x)在6，上的值域为1,2，则 2cos 21 即 k3，kZ 或 k23，kZ，故 3.答案 3(1)已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位
10、置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向(1)(2020杭州模拟)已知函数 f(x)3cos2x2 cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数 f(x)的图象()A向左平移6个单位长度B向右平移6个单位长度C向左平移 12个单位长度D向右平移 12个单位长度解析：C f(x)3cos2x2 cos 2x 3cos22x cos 2x3sin 2xcos 2x2sin2x6 2sin 2x 12，所以将 f(x)的图象向左平移 12个单位长度可得到奇函数
11、y2sin 2x 的图象，故选 C.(2)(2019哈尔滨三模)已知函数 f(x)2sin(x)(0，|)的部分图象如图所示，已知点 A(0，3)，B6，0，若将它的图象向右平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)图象的一条对称轴方程为()Ax 12Bx4Cx3Dx23解析：A f(0)2sin 3，sin 32，又|，3或23，又 f6 2sin6 0，6 k(kZ)，k3 66k2(kZ)，或 k23 66k4(kZ)，又 0，且T424 26，3，2，23，f(x)2sin2x23，将其图象 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度，得 到 函 数 g(x)的 图 象，
12、g(x)2sin2x6 23 2sin2x3，g(x)图象的对称轴方程满足 2x3k2(kZ)，xk2 12(kZ)，故选 A.热点三 三角函数的性质及应用例 2(1)(2019全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2 单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析 A 作出函数 f(x)|cos 2x|的图象，如图由图象可知 f(x)|cos 2x|的周期为2，在区间4，2 上单调递增同理可得 f(x)|sin 2x|的周期为2，在区间4，2 上单调递减，f(x)cos|x|的周期为 2.f(x)sin|x|不是周期函
13、数，排除 B，C，D.故选A.(2)(2019保定三模)已知函数 f(x)2cosx6(0)满足：f83f143，且在区间83，143内有最大值但没有最小值给出下列四个命题：p1：f(x)在区间0,2上单调递减；p2：f(x)在最小正周期是 4；p3：f(x)的图象关于直线 x2对称；p4：f(x)的图象关于点43，0 对称其中的真命题是()Ap1，p2Bp1，p3Cp2，p4Dp3，p4解析 C 由题意得，当 x83 1432113 时，f(x)取得最大值，则 cos1136 1，11362k，12k122(kN*)，又易知 T2143 83 2，01，所以 k1，12，f(x)2cosx2
14、6.故 f(x)的最小正周期 T24，p2 是真命题，又 f43 0，因此 f(x)的图象关于点43，0 对称，p4 是真命题故选 C.(3)(2019唐山调研)设函数 f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若 f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f2 f23 f6，则 f(x)的最小正周期为_解析 f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f2 f23，x2和 x23 均不是 f(x)的极值点，其极值应该在 x2232712处取得，f12 f6，x6也不是函数 f(x)的极值点，又 f(x)在区间6，2 上具有单调性，x67122 12为 f(x)的另一个相邻的极值点，故函数 f(
15、x)的最小正周期 T2712 12.答案 求解函数 yAsin(x)性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为 f(x)Asin(x)的形式(2)整体意识：类比 ysin x 的性质，只需将 yAsin(x)中的“x”看成 ysin x 中的“x”，采用整体代入的方法求解令 xk2(kZ)，可求得对称轴方程令 xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标将 x 看作整体，可求得 yAsin(x)的单调区间，注意 的符号(3)讨论意识：当 A 为参数时，求最值应分情况讨论(1)(2020 长 沙 模 拟)已 知 函 数f(x)2sin(x )10，|2，f()1，f()1，若|的最小
16、值为34，且 f(x)的图象关于点4，1 对称，则函数 f(x)的单调递增区间是()A.22k，2k，kZB.23k，3k，kZC.2k，52 2k，kZD.3k，52 3k，kZ解析：B(1)本题考查三角函数的图象和性质由 f()1，f()1 可知 f(x)的图象关于直线 x 对称，关于点(，1)对称，所以最小正周期 T4|min32，则 23，又 f4 2sin23411，则 sin6 0，又|2，则 6，则 f(x)2sin23x61，由22k23x622k，kZ 得23kx3k，kZ，即函数 f(x)的单调递增区间是23k，3k，kZ，故选 B.(2)(2019全国卷)关于函数 f(x
17、)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间2，单调递增 f(x)在，有 4 个零点 f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()ABCD解析：C f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|，f(x)是偶函数，对；f(x)在区间2，上单调递减，错；f(x)在，上有 3 个零点，错；f(x)的最大值为 2，对故选 C.(3)(多选题)关于函数 f(x)2sin 2x4 1，下列叙述正确的是()A其图象关于直线 x4对称B其图象可由 y2sin x4 1 图象上所有点的横坐标变为原来的12得到C其图象关于点38，0 对称D其值域1,3解析：BD 本题考查三角函数性质的综合应用以及三角函数图象的伸缩变换f4 2sin 244 1 21，不是函数的最值，因此函数 f(x)的图象不关于直线 x4对称，故 A 错误；y2sin x41图象上所有点的横坐标变为原来的12得到f(x)2sin 2x4 1的图象，故 B 正确；设 y2sin 2x4，则当 x38 时，y2sin 238 4 2sin 0，即函数 y2sin 2x4 1 的图象关于点38，1 对称，故 C 错误；当 sin 2x4 1 时，函数 f(x)取得最大值3，当 sin 2x4 1 时，函数 f(x)取得最小值1，即函数 f(x)的值域是1,3，故 D 正确，故选 BD.