1、2024/5/28郑平正制作3.1回归分析（三）高二数学 选修1-2第三章统计案例2024/5/28郑平正制作复习回顾1、线性回归模型：y=bx+a+e，(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=(4)2.2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。)iiyy(iiieyy=3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。21()niiiyy2024/5/28郑平正制作4、两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作为的估计量，越小，预
2、报精度越高。22111(,)(2)22nieQ a b nnn22（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：222112211()()1()()nniiiiinniiiiyyyyRyyyy R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。2024/5/28郑平正制作表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。1
3、2,ne ee编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。2024/5/28郑平正制作残差图的制作及作用 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；3、对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题几点说明：
4、第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。2024/5/28郑平正制作例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiix
5、yx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 2024/5/28郑平正制作例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42024/
6、5/28郑平正制作例2 关于x与y有如下数据：有如下的两个线性模型：（1）；（2）试比较哪一个拟合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx2024/5/28郑平正制作6、注意回归模型的适用范围：（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。（2）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。（3）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。（4）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为172c
7、m，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。2024/5/28郑平正制作7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否
8、合适等。2024/5/28郑平正制作案例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？温度xoC21232527293235产卵数y/个7112124661153252024/5/28郑平正制作选变量 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。画散点图假设线性回归方程为：=bx+a选 模 型分析和预测当x=28时，y=19.8728-463.73 93估计参数由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r20
9、.8642=0.7464 所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1当x=28时，y=19.8728-463.73 93一元线性模型2024/5/28郑平正制作奇怪？9366?模型不好？2024/5/28郑平正制作y=bx2+a 变换y=bt+a非线性关系线性关系方案2问题选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a？问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数气温问题2如何求a、b？合作探究t=x2二次函数模型2024/5/
10、28郑平正制作方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a 温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=r20.8962=0.802 将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.54 当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变
11、化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900 1050 1200 1350t2024/5/28郑平正制作问题变换y=bx+a非线性关系线性关系2110c xyc问题如何选取指数函数的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数气温指数函数模型方案3合作探究对数2024/5/28郑平正制作方案3解答温度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51产卵数y/个71121246611532500.40.81.21.622.42
12、.8036912 15 18 21 24 27 30 33 36 39xz当x=28oC 时，y 44，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化 由计算器得：z关于x的线性回归方程 为z=0.118x-1.665，相关指数R2=r20.99252=0.985 0.118x-1.665 10y 对数变换：在 中两边取常用对数得 令 ，则 就转换为z=bx+a 22111221lglg(10)lglg10lglg10lgc xc xycccc xc xc2110c xyc12lg,lg,zy ac bc2110c xyc2024/5/28郑平正制作最好的模型是哪个?-200-1000100
13、200300400-40-30-20-10010203040产卵数气温-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数气温-10001002003004000510152025303540产卵数线性模型二次函数模型指数函数模型2024/5/28郑平正制作比一比函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.802指数函数模型0.985最好的模型是哪个?2024/5/28郑平正制作用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回
14、归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。小结2024/5/28郑平正制作什么是回归分析？（内容）1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度2024/5/28郑平正制作回归分
15、析与相关分析的区别1.相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化2.相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制2024/5/28郑平正制作练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。使用年限x 23456维修费用y 2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程的回归系数；（2）求残差平方和；（3）求相关系数；（4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ybxaab、2R2024/5/28郑平正制作解：（1）由已知数据制成表格。12345合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690ixiyiix y2ix4;5;xy5521190;112.3.iiiiixx yi1.23,0.08.ba1.230.08.yx所以有