1、4.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和学 习 任 务核 心 素 养1了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点)2掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)3会求等差数列前n项和的最值(重点)1通过对等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养2借助等差数列前n项和的实际应用，培养数学建模及数学运算素养有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？”计算12399100知识点等差数列的前n项和公式(1)数列a
2、n的前n项和：对于数列an，把a1a2an称为数列an的前n项和，记作Sn(2)等差数列前n项和公式推导：等差数列前n项和公式是用倒序相加法推导的(3)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d在等差数列an前n项和公式推导中，运用了哪条性质？提示运用性质“在等差数列an中，若mnpq，则amanapaq”从而a1ana2an1akank11思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和()(2)anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式()(3)等差数列an
3、的前n项和Sn都可以写成二次函数SnAn2Bn()提示(1)正确由前n项和的定义可知正确(2)错误例如数列an中，Snn22当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1又因为a1S13，所以a1不满足anSnSn12n1，故命题错误(3)错误当公差为零时，Sn为一次函数答案(1)(2)(3)2在等差数列an中，已知a12，d2，则S20()A230B420C450D540BS2020a1d20220194203等差数列1，3，5，的前n项和是100，那么n的取值为()A8B9C10D11C根据公式Snna1d得100n(2)，解得n10 类型1等差数列前n项和的有关计算【例1】在等差数列an中
4、，若：(1)已知a610，S55，求a8；(2)已知a2a4，求S5思路探究(1)由于有两个已知条件，所以可以通过列方程组求出基本量a1，d来解决问题，也可以运用等差数列前n项和公式求解；(2)由于只有一个已知条件，需要结合等差数列的通项公式和前n项和公式求解，也可以利用等差数列的性质和前n项和公式求解解(1)法一：a610，S55，解得a8a62d16法二：S6S5a615，15，即3(a110)15a15，d3a8a62d16(2)法一：a2a4a1da13d，a12dS55a110d5(a12d)524法二：a2a4a1a5，a1a5，S524求数列的基本量的基本方法求数列的基本量的基本
5、方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理(1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个(2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解跟进训练1(1)已知数列an为等差数列，Sn为前n项和，若a2a44，a58，则S10()A125B115C105D95(2)已知等差数列an的前n项的和为Sn，若S927，a108，则S14()A154B153C77D78(1)D(2)C(1)S1010(4)395(2)根据题意，等差数列an中，若S927，即S99a527，解得a53，又
6、a108，S1477故选C 类型2等差数列前n项和公式的实际应用【例2】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？思路探究因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程解从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依
7、次设为a1，a2，a25由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d25辆翻斗车完成的工作量为：a1a2a2525242512500，而需要完成的工作量为2420480500480，在24小时内能构筑成第二道防线遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.跟进训练2(1)张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其大意为：有个女子
8、不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布()A30尺B90尺C150尺D180尺(2)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤问依次每一尺各重多少斤？”根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为()A6斤B9斤C9.5斤D12斤(1)B(2)B(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列an，其中a15，a301，S3090，即共织布90(尺)(2)依题
9、意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列an设首项为2，则a54，中间3尺的重量为a2a3a43a3339(斤) 类型3利用an求通项【例3】根据下列数列的前n项和Sn求通项an(1)Sn2n2n1；(2)Sn23n2思路探究先写出n2时，anSnSn1表达式，再求出n1时a1S1，验证是否适合n2时表达式如果适合则anSnSn1(nN*)，否则an解(1)由Sn2n2n1，当n2时，anSnSn1(2n2n1)2(n1)2(n1)14n3当n1时，a1S12413an(2)由Sn23n2，当n2时，anSnSn123n2(23n12)43n1当n1时，a1S1231244311，an43n1
10、(nN*)1数列an的通项an与前n项和Sn之间的关系为an2用an与Sn的关系求an的步骤(1)先确定n2时anSnSn1的表达式；(2)再利用Sn求出a1(a1S1)；(3)验证a1的值是否适合anSnSn1的表达式；(4)写出数列的通项公式跟进训练3已知数列an的前n项和Sn满足nlog2(Sn1)，求其通项公式an解根据条件可得Sn2n1当n2时，anSnSn12n12n112n1(21)2n1，当n1时，a1S12113211，an 类型4等差数列前n项和Sn的函数特征【例4】数列an的前n项和Sn33nn2(1)求an的通项公式；(2)an的前多少项和最大？1观察数列an的前n项和
11、Sn33nn2的结构特征，你能得到什么结论？提示数列an是等差数列2求等差an的前n项和Sn的最大值有哪些方法？提示把Sn看成关于n的二次函数，利用二次函数的单调性求最值；寻找正、负项，即若an0，an10，则Sn最大解(1)法一：(公式法)当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S1323421，满足an342n故an的通项公式为an342n法二：(结构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a
12、170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为x，距离最近的整数为16，17由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169法三：S9S17，a10a11a170由等差数列的性质得a13a140a10，d0，a140当n13时，Sn有最大值169法四：设SnAn2BnS9S17，二次函数对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值1692(变结论)本例中条件不变，令bn|an|，求数列bn的前n项和Tn解由数列an的通项公式an342n知，当n17时，an0；当n18时，a
13、n0所以当n17时，Tnb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2当n18时，Tn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n544故Tn1在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值(2)借助二次函数的图象及性质求最值2寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找(2)利用到yax2bx(a0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项
14、的分界点3求解数列|an|的前n项和，应先判断an的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题1等差数列an前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于()A1BC2D3C设an的公差为d，首项为a1，由题意得解得2设等差数列an的前n项和为Sn，已知S10100，则a4a7()A12B20C40D100B法一：由等差数列的前n项和的公式得：S1010a1d100，即2a19d20，从而a4a7a13da16d2a19d20法二：S10100，a1a1020，a4a7a1a1020故选B3若数列an的通项公式an433n，则Sn取得最大值时，n()A13B14C15D14或15B
15、由数列an的通项公式an433n，可得该数列为递减数列，且公差为3，a140，Snn2n考虑函数yx2x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n144已知数列an的前n项和公式Snn22n1，则其通项公式an_当n2时，anSnSn1n22n1(n1)22(n1)12n3，而当n1时，a1122110213，所以通式公式an5在等差数列an中：(1)a1，an，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d；(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n解(1)由题意，得Sn5，解得n15a15(151)d，d(2)由已知，得S8172，解得a839，a84(81)d39，d5(3)由得解得或回顾本节知识，自我完成以下问题：1等差数列an的前n项和Sn是什么？提示Snnn2n2数列an的通项an与前n项和Sn之间有什么关系？提示an