1、【KS5U】新课标2016年高二数学寒假作业7一、选择题.1.已知命题p：xR，cosx=；命题q：xR，x2x+10则下列结论正确的是( )A命题pq是真命题B命题pq是真命题C命题pq是真命题D命题pq是假命题2.已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最小值为（）A2B5C6D73.已知M是ABC内的一点，且=2，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A20B18C16D94.已知在等比数列an中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比等于( )ABC2D5.ABC中，a，b、c分别为A、B、C的对边，如果a，b、c成等差数列，B=30，A
2、BC的面积为，那么b等于( )ABCD6.若数列an，bn的通项公式分别是，且anbn对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是（）A1，）B2，）C2，）D1，）7.数列1，2，4，8，16，32，的一个通项公式是( )Aan=2n1Ban=2n1Can=2nDan=2n+18.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )A2B3C4D59.已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F恰好是双曲线=1（a0，b0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( )ABC1+D1+10.若曲线C1：y=ax2（a
3、0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为( )ABC，+）D二填空题.11.抛物线x=y2的焦点到双曲线=1（a0，b0）的渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 12.已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为 13.已知等差数列an是递增数列，Sn是an的前n项和，若a2，a4是方程x26x+5=0的两个根，则S6的值为 14.已知数列an的通项公式为an=n2+n（n=1，2，3，），若数列an是递增数列，则实数的取值范围是 三、解答题.15.设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an1（n=1，2，）（）
4、求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和Tn，并求使Tn成立的n的最大值16.在ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2a2=bc（）求角A的值；（）若，求c的长17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值【KS5U】新课标2016
5、年高二数学寒假作业7参考答案1.C【考点】复合命题的真假【专题】计算题；综合题【分析】根据余弦函数的值域，可知命题p是假命题，根据二次函数的图象与性质，得命题q是真命题由此对照各个选项，可得正确答案【解答】解：因为对任意xR，都有cosx1成立，而1，所以命题p：xR，cosx=是假命题；对任意的R，x2x+1=（x）2+0命题q：xR，x2x+10，是一个真命题由此对照各个选项，可知命题pq是真命题故答案为：C【点评】本题以复合命题真假的判断为载体，考查了余弦函数的值域和一元二次不等式恒成立等知识，属于基础题2.A考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先画出约束条件 的可行域，再将
6、可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=xy，不难求出目标函数z=xy的最小值解答：解：如图作出阴影部分即为满足约束条件 的可行域，由得A（3，5），当直线z=xy平移到点A时，直线z=xy在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=xy取最小值为2故选A点评：本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义3.B【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用 【专题】计算题【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）（x+y），利用基本不等式
7、求得+的最小值【解答】解：由已知得=bccosBAC=2bc=4，故SABC=x+y+=bcsinA=1x+y=，而+=2（+）（x+y）=2（5+）2（5+2）=18，故选B【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算要注意灵活利用y=ax+的形式4.A【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知得，由此能求出该数列的公比【解答】解：在等比数列an中，a1+a3=10，a4+a6=，10q3=，解得q=故选：A【点评】本题考查等比数列的公式的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用5.B【考点】解三角形【专题】计算题；压轴题【分析】
8、先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值【解答】解：a，b、c成等差数列，2b=a+c，得a2+c2=4b22ac，又ABC的面积为，B=30，故由，得ac=6a2+c2=4b212由余弦定理，得，解得又b为边长，故选B【点评】本题主要考查了余弦定理的运用考查了学生分析问题和基本的运算能力6.C【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】anbn对任意nN*恒成立，分类讨论：当n为偶数时，可得a2，解得a范围当n为奇数时，可得a2+，解得a范围，求其交集即可【解答】解：anb
9、n对任意nN*恒成立，当n为偶数时，可得a2，解得当n为奇数时，可得a2+，解得a2故选：C【点评】本题考查了数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.B【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】观察此数列是首项是1，且是公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求出此数列 的一个通项公式【解答】解：由于数列1，2，4，8，16，32，的第一项是1，且是公比为2的等比数列，故通项公式是 an=1qn1=2n1，故此数列的一个通项公式an=2n1，故选B【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式，求出公比q=2是解题的关键，属于基础题8.C考点：椭圆的简单性质 专题
10、：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意知，OM是三角形PF1F2的中位线，由|OM|=3，可得|PF2|=6，再由椭圆的定义求出|PF1|的值解答：解：如图，则OM是三角形PF1F2的中位线，|OM|=3，|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=4，故选：C点评：本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，判断OM是三角形PF1F2的中位线是解题的关键，是中档题9.C考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c46a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的
11、方程，进而可求得e解答：解：由题意，两条曲线交点的连线过点F两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得 c46a2c2+a4=0e46e2+1=0e2=3+2=（1+）2e=+1故选：C点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别10.C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围解答：解：由y=ax2（a0），得y=2ax，由y=ex，得y=ex，曲线C1：y=ax2（a0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则设公切线
12、与曲线C1切于点（），与曲线C2切于点（），则，将代入，可得2x2=x1+2，a=，记，则，当x（0，2）时，f（x）0当x=2时，a的范围是）故选：C点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题11.考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到解答：解：抛物线x=y2的焦点为（1，0），双曲线=1（ab0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=，即有b=a，则c=a，即有双曲线的离心率为故答案
13、为：点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于基础题12.考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线标准方程易得其准线方程为x=6，可得双曲线的左焦点为（6，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程是y=x，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程解答：解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=6，所以由题意知，点F（6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以a=b，由解得a2=18，b2=1
14、8，所以双曲线的方程为 故答案为：点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题13.24考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a2，a4，进一步求出公差和首项，则答案可求解答：解：由a2，a4是方程x26x+5=0的两个根，得，由已知得a4a2，解得a2=1，a4=5，d=，则a1=a2d=12=1，故答案为：24点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题14.（3，+）考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出an+1an=（n+
15、1）2+（n+1）（n2+n）=2n+1+0恒成立，由此能求出实数的取值范围解答：解：数列an的通项公式为an=n2+n（n=1，2，3，），数列an是递增数列，an+1an=（n+1）2+（n+1）（n2+n）=2n+1+0恒成立2n+1+的最小值是21+1+=3+03即实数的取值范围是（3，+）故答案为：（3，+）点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用15.考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）利用an=SnSn1可得an=2an1，进而可得结论；（）通过对bn分离分母，并项相加即得结论解答：解：（）当n=1时，a1=
16、S1=2a11，a1=1，当n2时，an=SnSn1=2an2an1，an=2an1，数列an的通项：an=2n1；（）由（I）知bn=2（），Tn=b1+b2+bn=2（+）=2（），Tn等价于2（），2n+14030，即得n11，即n的最大值为11点评：本题考查求数列的通项、前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题16.【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用 【专题】计算题；综合题【分析】（）把题设等式代入关于cosA的余弦定理中求得cosA的值，进而求得A（）先利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，然后利用正弦定理求得b解：（）b2+c2a2=bc，0A（）在ABC中，由正弦定理知
17、：，b=【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用考查了学生对这两个定理的熟练掌握17.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y10），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出
18、BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值【解答】解：（）由题意知，则a2=4b2椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2将y=x代入可得，因此，解得a=2则b=1椭圆C的方程为；（）（i）设A（x1，y1）（x1y10），D（x2，y2），则B（x1，y1）直线AB的斜率，又ABAD，直线AD的斜率设AD方程为y=kx+m，由题意知k0，m0联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0因此由题意可得直线BD的方程为令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）可得，即因此存在常数使得结论成立（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）由（i）知M（3x1，0），可得OMN的面积为S=当且仅当时等号成立OMN面积的最大值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题