1、64离散型随机变量 的期望值和方差 一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量的分布列为 PnP3P2P1P xnx3x2x1则称E=X1P1+X2P2+X3P3+XnPn+为的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。若=a+b(a、b为常数)，则也是随机变量，且E=aE+b。E(c)=c 特别地，若B(n，P)，则E=nP 2、方差、标准差定义：D=(X1-E)2P1+(X2-E)2P2+(Xn-E)2Pn+称为随机变量的方差。D的算术平方根 =叫做随机变量的标准差。D随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度
2、。且有D(a+b)=a2D,可以证明D=E2-(E)2。若B(n，p)，则D=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是()A离散型随机变量的期望E反映了取值的概率的平均值。B离散型随机变量的方差D反映了取值的平均水平。C离散型随机变量的期望E反映了取值的平均水平。D离散型随机变量的方差D反映了取值的概率的平均值。C 例1、（2）（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两
3、个，则其中含红球个数的数学期望是 。说明：近两年的高考试题与考试说明中的“了解，会”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。1.2 例2、设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E 、D 12P1012q21q剖析：应先按分布列的性质，求出 的值后，再计算出E 、D 。q说明：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E 。211)21(021)1(22qqq练习：已知的分布列为 P 10-1 213161(1)求E,D,，(2)若=2+3,求E,D 例3
4、、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是 ，非意外死亡的概率为 ，则 需满足什么条件，保险公司才可能盈利？a1p2pa剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数 的期望值大于0，故需求E 。说明：（1）离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值（2）本题中D 有什么实际意义？例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求E 、D 剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，总的投球方法数为 ，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为 ；空盒子的个
5、数为1时，此时投球方法数为 ，。446464!4)0(,!4444PA332414ACC)3(),2(,6436)1(PPP同样可分析例5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）季度一二三四季平均值甲厂7050804060乙厂5565556560试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。说明：本题考查利用离散型随机变量的方差与期望的知识，分析解决实际问题的能力。例 6、(1)设 随 机 变 量 具 有 分 布 列 为P(=k)=(k=1，2，3，4，5，6)，求E、E(2+3)和D。61(2)设随机变量的分布列为P(=k)=(k=1，2，3，n)，求E和D。n1(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。说明：可根据离散型随机变量的期望和方差的概念、公式及性质解答。三、课堂小结：1、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。2、常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。