1、2021-2022山东平邑一中新高三开学收心数学试题一选择题（共8小题）1已知集合A1，3，5，Bx|x26x+50，则（RB）A（）A1，3，5B3，5C0，3D32已知复数z满足（i）z2，则z（）ABCD3由直线xy+40上的点向圆（x1）2+（y1）21引切线，则切线长的最小值为（）AB3CD4某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A频率分布直方图中a的值为0.004B估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D估计总体中成绩落在60，70）内的学
2、生人数为1605某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有（）种A18B12C27D156实数a，b满足a0，b0，a+b4，则的最小值是（）A4B6CD7若函数为奇函数，函数f（x）的导函数f（x）cos（x+）（0，|）的部分图象如图所示，当时，则f（x）的最小值为（）A1BCD8若函数f（x）x2ax+lnx在区间（2，e）上单调递增，则a的取值范围是（）ABCDe2+1，+）二多选题（共4小题）9已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）的图象关于x1对称，当x（
3、0，1时，f（x）ex1，则下列判断正确的是（）Af（x）的周期为4Bf（x）的值域为1，1Cf（x+1）是偶函数Df（2021）110在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cb2bcosA，则下列结论正确的有（）AA2BBB的取值范围为C的取值范围为D的取值范围为11如图，矩形ABCD中，AB2AD，E是边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C若M为线段A1C的中点，则在ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（）ABM平面A1DE恒成立B：1：3C存在某个位置，使DEA1CD线段BM的长为定值12在平面直角坐标系xOy中
4、，已知抛物线C：x28y，若过焦点F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（）Ax1x216By1y216C的最大值为16D|12三填空题（共4小题）13已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，PF1PF2，直线PF2交y轴于点Q，且，则双曲线C的离心率为 14若（2x+1）100a0+a1x+a2x2+a100x100，则2（a1+a3+a5+a99）3被8整除的余数为 15某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的
5、概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的可能取值为 ，并求X的均值（即数学期望）为 16如图，四棱锥PABCD的底面四边形ABCD为正方形，四条侧棱PAPBPCPD，点E和F分别为棱BC和PD的中点若过A、E、F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为，且异面直线AB与PD的成角余弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为 四解答题（共6小题）17已知函数由下列四个条件中的三个来确定：f（0）2；最大值为2；最小正周期为（）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值
6、18如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，BCAB，侧面BB1C1C是正方形，D，E分别为BC，B1C1的中点，P为AD上一点，过P和B1C1的平面交AB于M，交AC于N（1）证明：AA1DE，且平面AA1ED平面MNC1B1；（2）设Q为A1E的中点，若AQ平面MNC1B1，且AQAB，求平面MNC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值19已知椭圆（ab0）过点（，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平方的等差中项（1）求椭圆的标准方程：（2）直线l过点M（1，0），与椭圆分别交于点A，B，与y轴交于点N，各点均不重合且满足，求+20已知an是由正整数组成的无穷数
7、列，该数列前n项的最大值记为An，最小值记为Bn，令（）若an2n（n1，2，3，），写出b1，b2，b3的值；（）证明：bn+1bn（n1，2，3，）；（）若bn是等比数列，证明：存在正整数n0，当nn0时，an，an+1，an+2，是等比数列21第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查，普查标准时点是2020年11月1日零时，将彻查人口出生变动情况以及房屋情况为了普及全国人口普查的相关知识，某社区利用网络举办社区线上全国人口普查知识答题比赛，社区组委会先组织了A、B、C、D四个小组进行全国人口普查知识网上答卷预选比赛，最终每个小组的第一名进入最后的决赛；其中甲、乙两人参加了
8、A组的小组预赛，结果两人得分相同，为了决出进入决赛的名额，该社区组委会设计了一个决赛方案：甲、乙两人各自从5个人口普查问题中随机抽取3个已知这5个人口普查问题中，甲能正确回答其中的3个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个人口普查问题的回答是相互独立、互不影响；答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的2道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜（1）求甲、乙两人共答对2个人口普查问题的概率；（每答对一次算答对一个问题）（2）记X为乙答对人口普查问题的个数，求X的分布列和数学期望22已知函数f（x）alnxax+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数
9、有两个极值点x1，x2（x1x2）求a的取值范围；若g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知集合A1，3，5，Bx|x26x+50，则（RB）A（）A1，3，5B3，5C0，3D3解：A1，3，5，Bx|x1或x5，RBx|1x5，（RB）A3故选：D2已知复数z满足（i）z2，则z（）ABCD解：（i）z2，故选：A3由直线xy+40上的点向圆（x1）2+（y1）21引切线，则切线长的最小值为（）AB3CD解：圆（x1）2+（y1）21的圆心坐标为C（1，1），半径为1，由直线xy+40上的点P向圆（x1）2+（y1）21引切线
10、，要使切线长最小，则|PC|最小，此时，切线长的最小值为故选：A4某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A频率分布直方图中a的值为0.004B估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D估计总体中成绩落在60，70）内的学生人数为160解：对于A，由频率分布直方图的性质得：（2a+3a+7a+6a+2a）101，解得a0.005，故A错误；对于B，50，80）的频率为：10（2a+30+7a）10120.0050.6，估计这20名学生数学考试成绩的第60百
11、分位数为80，故B正确；对于C，估计这20名学生数学考试成绩的众数为：75，故C错误；对于D，估计总体中成绩落在60，70）内的学生人数为：30.005101000150，故D错误故选：B5某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有（）种A18B12C27D15解：若2个小孩住在一起，则只能住三人间，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时有6种，若2个小孩不住在一起，则只能三人间、两人间各住一个小孩，有2种，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时共有212种，合计
12、6+1218种，故选：A6实数a，b满足a0，b0，a+b4，则的最小值是（）A4B6CD解：a0，b0，4a+b2，0ab42，）最小值为故选：D7若函数为奇函数，函数f（x）的导函数f（x）cos（x+）（0，|）的部分图象如图所示，当时，则f（x）的最小值为（）A1BCD解：根据函数f（x）的导函数f（x）cos（x+）（0，|）的部分图象，可得，再根据五点法作图，可得，求得，故函数f（x）cos（x），f（x）sin（x）+c由于g（x）f（x）+1sin（x）+c+1sinx+c+1为奇函数，故c1，故选：B8若函数f（x）x2ax+lnx在区间（2，e）上单调递增，则a的取值范围是
13、（）ABCDe2+1，+）解：f（x）2xa，函数f（x）x2ax+lnx在区间（2，e）上单调递增，f（x）2xa0在（2，e）上恒成立，即a在（2，e）上恒成立，g（x）2x在（2，e）上为增函数，a，即a的取值范围是故选：B二多选题（共4小题）9已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）的图象关于x1对称，当x（0，1时，f（x）ex1，则下列判断正确的是（）Af（x）的周期为4Bf（x）的值域为1，1Cf（x+1）是偶函数Df（2021）1解：因为f（x）的图象关于x1对称，则f（x）f（2+x），又f（x）为函数的奇函数，则f（x）f（x），所以f（x+2）f（x），则f（x+4）f
14、（x+2）f（x），所以f（x+4）f（x），则函数f（x）的周期为4，故选项A正确；当x（0，1时，f（x）ex1，（，因为f（x）的图象关于x1对称，所以当x（1，2时，f（x）（，又函数f（x）为奇函数，则当x1，0）时，f（x），当x2，1）时，f（x），又f（0）0，综上可得，f（x）的值域为0（，故选项B错误；因为f（x）的图象关于x1对称，则f（x+1）的图象关于x0对称，所以f（x+1）是偶函数，故选项C正确；f（2021）f（5054+1）f（1）1，故选项D正确故选：ACD10在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cb2bcosA，则下列结论正确的有（）A
15、A2BBB的取值范围为C的取值范围为D的取值范围为解：cb2bcosA，由正弦定理可得sinCsinB2sinBcosA，又sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，sinAcosB+cosAsinBsinB2sinBcosA，即sinAcosBsinBsinBcosA，sinAcosBcosAsinBsin（AB）sinB，A，B，C为锐角，ABB，即A2B，故选项A正确；，B，A，故选项B错误；2cosB（，），故选项C错误；2sinA2sinA2sinA，又A，sinA1，令tsinA（t1），则f（t）2t（t1），由对勾函数性质可知，f（t）2t在t（，1）上单调递
16、增，又f（）2，f（1）213，2sinA（，3），故选项D正确故选：AD11如图，矩形ABCD中，AB2AD，E是边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C若M为线段A1C的中点，则在ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（）ABM平面A1DE恒成立B：1：3C存在某个位置，使DEA1CD线段BM的长为定值解：取CD中点F，连接MF，BF，如图所示，则MFA1D，FBDE，则可得平面MBF平面A1DE，BM平面MBF，BM平面A1DE，BMA1DE，故A选项正确，设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h，则 ，故B选项正确，A1C
17、在平面ABCD中的射影在AC上，AC与DE不垂直，DE与A1C不垂直，故C选项错误，MFBA1DE45，又由余弦定理，可得MB2MF2+FB22MFFBcosMFB，且MF，FB为定值，MB为定值故选：ABD12在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x28y，若过焦点F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（）Ax1x216By1y216C的最大值为16D|12解：由抛物线的方程可得：焦点F（0，2），设直线AB的方程为：ykx+2，联立，整理可得：x28kx160，所以64k2+640，x1+x28k，x1x216，所以y1y24，y1+y2k（x1
18、+x2）+48k+4，故A正确，B错误；对于C，（x1，y12），（x2，y22），所以x1x2+（y12）（y22）x1x2+y1y22（y1+y2）+416+42（8k+4）+416k1616，当k0时等号成立，所以的最大值为16，故C正确；对于D，| 242012，故D正确故选：ACD三填空题（共4小题）13已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，PF1PF2，直线PF2交y轴于点Q，且，则双曲线C的离心率为 解：设Q（0，m），设m0，F1（c，0），F2（c，0），设P（x0，y0），则（x0c，y0）（c，m），解得x0，y0，即P（，），PF1PF2，0，即
19、（，）（，）0，得c2，解得m2c，即P（，），P在双曲线上，1，而b2c2a2，可得：e2或5，由于e1，可得e，故答案为：14若（2x+1）100a0+a1x+a2x2+a100x100，则2（a1+a3+a5+a99）3被8整除的余数为 解：（2x+1）100a0+a1x+a2x2+a100x100，令x1，可得a0+a1+a2+a3+a1003100，令x1，可得 a0a1+a2a3+a1001，2（a1+a3+a5+a99）31001，则2（a1+a3+a5+a99）331004（8+1）504850849848+84，显然，除了最后2项外，其余的各项都能被8整除，故它被8整除的余数
20、，即14除以8的余数，等于5，故答案为：515某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的可能取值为，并求X的均值（即数学期望）为解：由题意分析得X可取的值为1、2、3，用“Xk”（k1、2、3）表示被A直接感染的人数四个人的传染情形共有6种：ABCD，每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况“X1”表示A传染
21、B，没有传染给C、D：“X2”表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C：“X3”表示A传染给B、C、D于是有，X可取的值为1、2、3，其中，X分布列为：X123P 故答案为：1，2，3，16如图，四棱锥PABCD的底面四边形ABCD为正方形，四条侧棱PAPBPCPD，点E和F分别为棱BC和PD的中点若过A、E、F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为，且异面直线AB与PD的成角余弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为解：如图，连接AE并延长交DC的延长线于H，连接FH交PC于G，E为BC的中点，C为DH的中点，在平面PDH中，过C作CKPD，交FH于K，则CKDFPF，GC
22、PG，异面直线AB与PD的成角余弦值为，cosPDC由已知可得，四棱锥PABCD为正四棱锥，在等腰三角形PDC中，由cosPDC，得PD，设DCa，则PD2a，PFa，PG，cosDPCcos（2PDC）cos2PDC12cos2PDC，在PFG中，由余弦定理可得，解得a3正四棱锥PABCD的底面边长为，侧棱长为6，连接AC、BD，相交于M，连接PM，则PM为正四棱锥的高，则PM设四棱锥外接球的球心为O，连接OA，则，解得R该四棱锥的外接球的表面积为4故答案为：48四解答题（共6小题）17已知函数由下列四个条件中的三个来确定：f（0）2；最大值为2；最小正周期为（）写出能确定f（x）的三个条件
23、，并求f（x）的解析式；（）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值解：（）确定f（x）的三个条件是，当A0且时，Asin0若函数f（x）满足条件，则f（0）Asin2，与Asin0矛盾，所以f（x）不能满足条件所以能确定f（x）的三个条件是，由条件，得，又0，所以2由条件，得|A|2，又A0，所以A2由条件，得，又，所以所以经验证，符合题意（）函数ysinx的单调递增区间为由，得又因为，所以f（x）在区间上的单调递增区间为因为，所以，所以f（x）在区间上的最小值为18如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，BCAB，侧面BB1C1C是正方形，D，E分别为BC，B1C1
24、的中点，P为AD上一点，过P和B1C1的平面交AB于M，交AC于N（1）证明：AA1DE，且平面AA1ED平面MNC1B1；（2）设Q为A1E的中点，若AQ平面MNC1B1，且AQAB，求平面MNC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：因为DEBB1，AA1BB1，所以AA1DE，平面PB1C1分别与两个平行平面ABC，A1B1C1相交于MN，B1C1，所以MNB1C1，又因为BCAD，B1C1BC，所以MNAD，因为BCBB1，BB1AA1，所以BCAA1，而BCMN，所以MNAA1，又AD，AA1是平面AA1ED内两条相交直线，故MN平面AA1ED，故平面AA1ED平面
25、MNC1B1；（2）解：连接EP，因为AQ平面MNC1B1，故AQPE，故PEMN，又ADMN，故EPD是二面角EMND的平面角，设AB2，则，PE3，由余弦定理可得，故平面MNC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值为19已知椭圆（ab0）过点（，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平方的等差中项（1）求椭圆的标准方程：（2）直线l过点M（1，0），与椭圆分别交于点A，B，与y轴交于点N，各点均不重合且满足，求+解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知，且（2a）2+（2b）22（2c）2，又a2b2+c2，b21，椭圆的方程为（2）由于直线1过点M（1，0），与y轴交于点N，所以直线l
26、的斜率k存在设直线1的方程为yk（x1），得N（0，k），设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3k2+1）x26k2x+3k230，（x1，y1+k）（1x1，y1），解得同理可得，则+320已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，最小值记为Bn，令（）若an2n（n1，2，3，），写出b1，b2，b3的值；（）证明：bn+1bn（n1，2，3，）；（）若bn是等比数列，证明：存在正整数n0，当nn0时，an，an+1，an+2，是等比数列解：（）an2n，An2n，Bn2，nb11，b22，b33（）证明：由题意知An+1An0，0Bn+1Bn，所以An+1B
27、nAnBn+1所以，即bn+1bn（）证明：由题意知，及bn+1bn，当bn+1bn时，得bn1，即所以AnBn所以ana1即an为公比等于1的等比数列当bn+1bn时，令atmina1，a2，an，则Bmat（mt）当nt时，显然An+1An若an+1An，则An+1An，与An+1An矛盾，所以an+1Anan，即An+1an+1取n0t+1，当nn0时，显然an，an+1，an+2，是等比数列综上，存在正整数n0，使得nn0时，an，an+1，an+2，是等比数列21第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查，普查标准时点是2020年11月1日零时，将彻查人口出生变动情况以
28、及房屋情况为了普及全国人口普查的相关知识，某社区利用网络举办社区线上全国人口普查知识答题比赛，社区组委会先组织了A、B、C、D四个小组进行全国人口普查知识网上答卷预选比赛，最终每个小组的第一名进入最后的决赛；其中甲、乙两人参加了A组的小组预赛，结果两人得分相同，为了决出进入决赛的名额，该社区组委会设计了一个决赛方案：甲、乙两人各自从5个人口普查问题中随机抽取3个已知这5个人口普查问题中，甲能正确回答其中的3个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个人口普查问题的回答是相互独立、互不影响；答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的2道题中选一道作答，答对则判乙胜，
29、答错则判甲胜（1）求甲、乙两人共答对2个人口普查问题的概率；（每答对一次算答对一个问题）（2）记X为乙答对人口普查问题的个数，求X的分布列和数学期望解：（1）甲，乙两人共答对2个人口普查问题包括，甲答对2题，乙答对0题，此时概率P1，甲答对1题，乙答对1题，乙再从剩下的2道题中选一道作答，并答错，此时概率P2，故甲，乙两人共答对2个人口普查问题的概率PP1+P2（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X0），P（X1），P（X2） ，P（X3），P（X4），故X的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 故E（X）22已知函数f（x）alnxax+1（1）讨论函数f（x）的单调
30、性；（2）若函数有两个极值点x1，x2（x1x2）求a的取值范围；若g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围解：（1），则当a0时，f（x）1（x0）是常数函数，不具备单调性；当a0时，由f（x）00x1：由f（x）0x1，故此时f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减；当a0时，由f（x）0x1，由f（x）00x1，故此时f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增；综上：当a0时，f（x）是常数函数，不具备单调性，当a0时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，当a0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增（2）因为，所以，由题意g（x）0有两个不同的正根，即x2ax+a0有两个不同的正根，则，可得a4，不等式g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，等价于恒成立，又 ，所以，令，则y0，所以在（4，+）上单调递减，所以y2ln23，所以2ln23，即的取值范围是2ln23）