1、第2课时圆的一般方程学 习 任 务核 心 素 养1正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径(重点)2会在不同条件下求圆的一般方程(重点)1 通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养2 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养(1)把(xa)2(yb)2r2展开是一个什么样的关系式？(2)把x2y2DxEyF0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？这就是今天我们将要研究的问题知识点圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)叫作圆的一般方程其中圆心为，圆的半径为r(2)对方程x2y2DxE
2、yF0的讨论D2E24F0时表示圆D2E24F0时表示点D2E24F0时，不表示任何图形方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？提示AC0，B0且D2E24F01思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程x2y2DxEyF0表示圆()(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系()(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化()(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件()答案(1)(2)(3)(4)2若方程x2y22x2y 2210表示圆，则的取值范围是()A(1，)BC(1，)DRA因为方程x2y22x2y2210表示圆，所以D2E24F0，即42424(2
3、21)0，解不等式得1，即的取值范围是(1，)故选A3过点(0，0)，(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为_x2y24x6y0三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2，3)，半径r方程为(x2)2(y3)213，一般方程为x2y24x6y0 类型1圆的一般方程的认识【例1】(1)若方程x2y22ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长x2y24x0；2x22y23x4y60；x2y22ax0(1)(，1)把方程配方得(xa)2(ya)21a，由条件可知1a0，即a1(2)解方程可变形为(x2)2y24，故方程表示
4、圆，圆心为C(2，0)，半径r2方程可变形为22(y1)2，此方程无实数解故方程不表示任何图形原方程可化为(xa)2y2a2当a0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；当a0时，方程表示以(a，0)为圆心，|a|为半径的圆判断方程x2y2DxEyF0是否表示圆，关键是将其配方，最后转化为判断D2E24F的正负问题.跟进训练1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y25x0解(1)方程2x2y27y50中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆(2)方程x2xyy26x7y0中含有xy这样的项，
5、它不能表示圆(3)方程x2y22x4y100化为(x1)2(y2)25，它不能表示圆(4)方程2x22y25x0化为y2，它表示以为圆心，为半径长的圆 类型2求圆的一般方程【例2】已知ABC的三个顶点为A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解法一：设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，A，B，C在圆上，ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5法二：kAB，kAC3，kABkAC1，ABACABC是以角A为直角的直角三角形，外心是线段BC的中点，坐标为(1，1)，r|BC|5外接
6、圆方程为(x1)2(y1)225确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.跟进训练2已知圆C：x2y2DxEy30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程解圆心C，圆心在直线xy10上，10，即DE2又半径长r，D2E220由可得或又圆心在第二象限，0，即D0则故圆的一般方程为x2y22
7、x4y30 类型3与圆有关的轨迹问题【例3】点A(2，0)是圆x2y24上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ的中点N的轨迹方程1线段AP的中点M的坐标为M(x，y)，那么点P的坐标是什么？提示(2x2，2y)2直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？提示直角三角形斜边的中线长是斜边长的二分之一解(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为(2x2，2y)点P在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x1)2y21(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ
8、中，|PN|BN|设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2y2xy101在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程解设T(x，y)因为点T是弦的中点，所以OTBT当斜率存在时有kOTkBT1即1，整理得x2y2xy0当x0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上故所求轨迹方程为x2y2xy02本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程解设点E(x，y)，P(x0，y0)B(1，1)，整理得x02x1，y02y1，点P在圆x2y24上，(2
9、x1)2(2y1)24，整理得点E的轨迹方程为x2y2xy01直接法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；(2)列出点M 满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点2代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；(3)用x，y表示x0，y0；(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；(5)化简方程为最简形式1方程2x22y24x8y100表示的图形是()A一个点B一个圆C一条直线D不存在A方程2
10、x22y24x8y100，可化为x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程2x22y24x8y100表示点(1，2)2若方程x2y2xym0表示一个圆，则实数m的取值范围是()AmBmCm2Dm2A由D2E24F0得(1)2124m0，解得m，故选A3若圆x2y22kx2y40关于直线2xy30对称，则实数k等于_2由条件可知，直线经过圆的圆心(k，1)，2k(1)30，解得k24设圆x2y24x2y110的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_x2y24x2y10由条件知A(2，1)，设M(x，y)，则P(2x2，2y1)，由于P在圆上，(2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)110，整理得x2y24x2y105已知ABC的三个顶点分别为A(1，5)，B(2，2)，C(5，5)，求其外接圆P的方程解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由题意可得解得故所求外接圆P的方程为x2y24x2y200回顾本节知识，自我完成以下问题：1圆的一般方程是什么？提示x2y2DxEyF0(D2E24F0)2方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？提示AC0，B0且D2E24F03求轨迹方程的一般方法有哪些？提示直接法，代入法(相关点法)