1、2020-2021学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高一（下）期末数学试卷一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1下列结论正确的是（）A侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台C有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体2直线y0的倾斜角是（）A0B45C90D不存在3采用系统抽样方法，从个体数为1001的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，被剔除的个体数与抽样间隔分别为（）A1，25B1，20C3，20D3，254若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为（）A4B4C2D25已知m，
2、n为两条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题正确的是（）若m，则m；若直线m用与平面内的无数条直线垂直，则m；若n，m，则mn；若，m，n，则mnABCD6对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r10.7859，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r20.9568，则下列判断正确的是（）A变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强7过点P（1，2）作圆C：x2+
3、y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（）Ax+2y10ByCyDx2y108一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A3B2CD以上都不对9某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有20分钟的有效刷卡时间（即8：108：30），一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是（）ABCD10在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BCCD，且ABBC4，CD3，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）ABCD11一束光线，从点A（2，2）
4、出发，经x轴反射到圆C：（x3）2+（y3）21上的最短路径的长度是（）A51B5+1C3+1D3112已知二面角l为30，动点P，Q分别在平面，内，P到的距离为1，Q到的距离为，则P，Q两点之间距离的最小值为（）A4BC2D2二、填空题（本大题共4小题，共20分）13已知正三角形ABC的直观图ABC的面积为，则正三角形ABC的边长为 14从2名女同学和2名男同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少1名女同学的概率是 15设点P（x，y）是圆C：x2+（y2）21上的动点，定点A（1，0），B（1，0），则的最大值为 16已知P（x，y）为圆x2+y21上的动点，则|3x+4y
5、+10|的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共计70分）17已知直线l：xy+10，点A（1，2）（1）求过点A且与l垂直的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点A的坐标18在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC19已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+50相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程202019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个
6、高三年级的学生进行了测试现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照50，60），60，70），90，100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在80，100的学生至少有1人被抽到的概率21在直三棱柱ABCA1B1
7、C1中，ABAC1，BAC90，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60，设AA1a（1）求a的值；（2）求三棱锥B1A1BC的体积22已知直线l：4x+ay50与直线l：x2y0相互垂直，圆C的圆心与点（2，1）关于直线l对称，且圆C过点M（1，1）（1）求直线l与圆C的方程；（2）已知N（2，0），过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP+kMQ0，求证：直线PQ的斜率为1参考答案一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1下列结论正确的是（）A侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台C有两个侧面是矩形的
8、棱柱是直棱柱D底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体解：对于A：侧面都是等腰三角形，利用顶点到底面的距离为同一个值，利用勾股定理顶点的射影到底面的顶点的距离都相等，则可能射影的点为直角三角形的斜边的中点，故该三棱锥不是正三棱锥，故A错误；对于B：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故B错误；对于C：有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C错误；对于D：底面是平行四边形的四棱柱，它的六个平面都为平行四边形，故该四棱柱是平行六面体，故D正确故选：D2直线y0的倾斜角是（）A0B45C90D不存在解：直线y0的斜率为0，所以倾斜角是0故选：A3采用系统抽样方法，从个体数为10
9、01的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，被剔除的个体数与抽样间隔分别为（）A1，25B1，20C3，20D3，25解：因为10014025余1，所以在抽取过程中被剔除的个体数是1；抽样间隔是25故选：A4若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为（）A4B4C2D2解：因为点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，所以KABKAC，即，得a4故选：A5已知m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题正确的是（）若m，则m；若直线m用与平面内的无数条直线垂直，则m；若n，m，则mn；若，m，n，则mnABCD解：根据题意，依次分析4个命题：对于
10、，直线m可能在平面内，即m，错误；对于，若直线m用与平面内两条相交直线垂直，则m，错误；对于，若n，则n垂直平面内任意直线，符合线面垂直的性质，正确；对于，符合面面平行的性质，正确；则正确；故选：D6对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r10.7859，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r20.9568，则下列判断正确的是（）A变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性
11、相关性较强解：由线性相关系数r10.78590知x与y正相关，由线性相关系数r20.95680知u，v负相关，又|r1|r2|，变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强故选：C7过点P（1，2）作圆C：x2+y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（）Ax+2y10ByCyDx2y10解：圆C：x2+y21的圆心为C（0，0），以点P（1，2）、C（0，0）为直径的圆的方程为：（x）2+（y+1）2，将两圆的方程相减，即得公共弦AB的方程为x2y1即x2y10故选：D8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A3B2CD以上都不对解：由三视图可知，该几何
12、体为轴截面为正三角形的圆锥过圆锥的高作轴截面，得到如图球的半径R外接球的表面积S4R2故选：C9某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有20分钟的有效刷卡时间（即8：108：30），一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是（）ABCD解：职工刷卡时间长度为20分钟，到单位的时长为40分钟，则只要在有效刷卡时间到单位即可完成刷卡，则对应的概率P，故选：C10在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BCCD，且ABBC4，CD3，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A
13、BCD解：如图所示，设AB，BC，AD，BD的中点分别为E，F，G，H，连接EF，FG，GE，FH，GH，则EFAC，EGBD，所以异面直线AC与BD所成角即直线EF与EG所成的夹角，即FEG或其补角，因为BCCD，所以，则，因为AB平面BCD，所以ABBC，所以，则，因为GHAB，所以GH平面BCD，又FH平面BCD，所以GHFH，则，在EFG中，由余弦定理可得：故选：B11一束光线，从点A（2，2）出发，经x轴反射到圆C：（x3）2+（y3）21上的最短路径的长度是（）A51B5+1C3+1D31解：由圆C的方程可得圆心坐标C（3，3），半径r1，设A点关于x轴对称点A（2，2），连接AC
14、交x轴于Q点，交圆C于P点，则AP为所求的最短距离，证明如下：任取x轴上一点Q，则AQ+QPAQ+QPAP，当且仅当A，Q，P三点共线时取等号，所以APACr151，故选：A12已知二面角l为30，动点P，Q分别在平面，内，P到的距离为1，Q到的距离为，则P，Q两点之间距离的最小值为（）A4BC2D2解：如图分别作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，连CQ，BD，则ACQPDB30，AQ，BP1，又PQ，当且仅当AP0，即点A与点P重合时取最小值故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20分）13已知正三角形ABC的直观图ABC的面积为，则正三角形ABC的边长为 2解：设正三角形ABC的
15、边长为a，正三角形ABC的直观图ABC的面积为，解得a2故答案为：214从2名女同学和2名男同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少1名女同学的概率是 解：从2名女同学和2名男同学中任选2名同学，共有种不同的选法，选出的2名同学中至少1名女同学，共有种不同的选法，所以选出的2名同学中至少1名女同学的概率是故答案为：15设点P（x，y）是圆C：x2+（y2）21上的动点，定点A（1，0），B（1，0），则的最大值为 8解：P（x，y）是圆C：x2+（y2）21上的动点，x21（y2）2，y1，3，（1x，y）（1x，y）x2+y211（y2）2+y214y4，当y3时，取得最大值
16、，为8故答案为：816已知P（x，y）为圆x2+y21上的动点，则|3x+4y+10|的最大值为 15解：设t3x+4y+10，即3x+4y+10t0，由圆心（0，0）到直线3x+4y+10t0的距离d1，可得：，解得t5或t15，由题意可得5t15，5|3x+4y+10|15，即|3x+4y+10|的最大值为15故答案为：15三、解答题（本大题共6小题，共计70分）17已知直线l：xy+10，点A（1，2）（1）求过点A且与l垂直的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点A的坐标解：（1）由直线l：xy+10，可得其斜率为1，所以可得与之垂直的直线的斜率1，所以过点A与l垂直的直线方程为y+
17、21（x+1），即过点A且与l垂直的直线方程：x+y+30；（2）设A的坐标（a，b），则直线l是线段AA的中垂线，所以可得：，解得：，即A的坐标（3，0）18在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC【解答】证明：（1）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，平行六面体可得每个面均为平行四边形，所以ABA1B1， ABA1B1，AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1CAB平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，四边形ABB1A1是菱形，AB1A1B在平行六面体ABCDA
18、1B1C1D1中，B1C1CB，AB1B1C1AB1BCAB1面A1BC，且AB1平面ABB1A1平面ABB1A1平面A1BC19已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+50相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程解：（1）圆C1：x2+y26x+50，整理，得其标准方程为：（x3）2+y24，圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为ykx、A（x1，y1）、B（x2，y2），与圆C1，联立方程组，消去y可得：（1+k2）x26x+50，由364（1+k2）50，可得k2由韦达定理，可得x1+x2，线段AB的中点M的轨迹C的参数
19、方程为，其中k，将k代入参数方程中的一个，化简可得线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x）2+y2，如图所示，OM3，NM2，ON，xN，x3202019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照50，60），60，70），90，100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
20、（2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在80，100的学生至少有1人被抽到的概率解：（1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为10.10.30.30.10.2，所以x0.02，估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：（550.01+650.03+750.03+850.02+950.01）1074分，由于前两组的频率之和为0.1+0.30.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.30.7，故中位数在第3组中，设中位数
21、为t分，则有（t70）0.030.1，解得，故所求的中位数为分；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.10.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200人；（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，所以成绩在80，100的学生至少有1人被抽到的概率为21在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60，设AA1a（1）求a的值；（2）求三棱锥B1A1BC的体积解：（1）以A为原点，AB为
22、x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，a），B（1，0，0），B1（1，0，1），C1（0，1，a），（1，0，a），（1，1，a1），异面直线A1B与B1C1所成的角等于60，cos60，由AA1a0，解得a1（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90AC平面A1B1B，AC1，三棱锥B1A1BC的体积22已知直线l：4x+ay50与直线l：x2y0相互垂直，圆C的圆心与点（2，1）关于直线l对称，且圆C过点M（1，1）（1）求直线l与圆C的方程；（2）已知N（2，0），过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP
23、+kMQ0，求证：直线PQ的斜率为1解：（1）由题意：直线l：4x+ay50与直线l：x2y0相互垂直，斜率的乘积为1，故得412a0，解得：a2，直线l的方程为：4x+2y50设圆心为（a，b），圆心与点（2，1）关于直线l对称，且圆C过点M（1，1）可得：，解得：a0，b0，从而可得C的半径为r|CM|，故得圆C的方程的方程为：x2+y22（2）由题意：设过点M的直线MP的斜率为k，直线方程为y+1k（x+1），则过点M的直线MQ的斜率为k，直线MP与圆C相交，联立方程组：，消去y可得：（1+k2）x2+2k（k1）x+k22k10，圆C过点M（1，1）故有：，可得：xp，同理，将k替换成k，可得，则KPQ