1、8.5 直线、平面垂直的判定与性质基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引 基础知识 自主学习(1)定义 如果直线l与平面内的直线都垂直，则直线l与平面垂直.1.直线与平面垂直知识梳理 任意一条(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l 相交a，babOlalb性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 ab 平行ab2.平面与平面垂直(1)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言
2、判定定理 一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直 l lllala交线垂线重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.知识拓展 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)直线a，b，则ab.(
3、)(4)若，aa.()(5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.()思考辨析 1.(教材改编)下列命题中不正确的是 A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面，平面平面，l，那么l 考点自测 答案 解析 根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内.2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 解析 若，因
4、为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.3.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则 A.若mn，n，则m B.若m，则m C.若m，n，n，则m D.若mn，n，则m 答案 解析 A中，由mn,n，可得m或m或m与相交，错误；B中，由m，可得m或m或m与相交，错误；C中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确；D中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误.4.(2016深圳模拟)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面的结论不正确的是 A.BC平面A
5、GF B.EG平面ABF C.平面AEF平面BCD D.平面ABF平面BCD 答案 解析 易知点A在平面BCD上的射影在底面的中心，而中心不在EF上，所以平面AEF平面BCD错误，选C.5.(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.答案 解析 外 如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心.(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.答案 解析 垂 如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.PCPA，PBPC
6、，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高.同理可证BD，AH为ABC底边上的高，即O为ABC的垂心.题型分类 深度剖析题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1(2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD.证明：DH平面ABCD.54证明 10几何画板展示 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递
7、性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.跟踪训练1(2015江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已 知 ACBC，BC CC1.设 AB1 的 中 点 为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.证明(2)BC1AB1.证明 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥PA
8、BCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.(1)求证：CE平面PAD；证明(2)求证：平面EFG平面EMN.证明 因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA.又因为ABPA，所以EFAB，同理可证ABFG.又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG.所以AB平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD，又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.引申探究 1.在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.证明 因为ABPA，ABAC，且PAACA，所以A
9、B平面PAC.又MNCD，CDAB，所以MNAB，所以MN平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN平面PAC.2.在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.证明 因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EFPA，FGAC，又EF平面PAC，PA平面PAC，所以EF平面PAC.同理，FG平面PAC.又EFFGF，所以平面EFG平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.跟踪训练2(2016江苏)如图，在直三棱柱ABC-A
10、1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；由已知，DE为ABC的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1，DEA1C1，又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.证明(2)平面B1DE平面A1C1F.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1D
11、E平面A1C1F.证明 题型三 直线、平面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；证明 5在ABD 中，AD4，BD8，AB4 5，AD2BD2AB2，ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)求四棱锥PABCD的体积.解答 思维升华 垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂
12、直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.跟踪训练3(2016全国乙卷)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；证明(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.解答 典例(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B
13、1C平面A1MK.立体几何证明问题中的转化思想 思想与方法系列17 规范解答 思想方法指导 课时作业1.已知直线m，n和平面，若，m，要使n，则应增加的条件是 A.n且mnB.n C.n且nmD.n 123456789101112答案 解析 由面面垂直的性质定理知选C.1234567891011122.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若，m，n，则mn B.若，m，n，则mn C.若mn，m，n，则 D.若m，mn，n，则 答案 解析 A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故选D.12345
14、67891011123.(2016包头模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 A.CC1与B1E是异面直线 B.AC平面ABB1A1 C.AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1 D.A1C1平面AB1E 答案 解析 1234567891011124.正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于 A.ACB.BDC.ADD.AA 答案 解析 连接BD，BDAC，BDCC，且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.1234567891011125
15、.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是A.B.C.D.答案 解析 1234567891011126.如 图，BAC 90，PC 平 面 ABC，则 在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_.答案 解析 AB、BC、ACABPC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，与AP垂直的直线是AB.1234567891011127.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面A
16、BCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点 M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 解析 DMPC(或BMPC等)由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.1234567891011128.如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_.答案 解析 1234567891011129.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个
17、换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个.答案 解析 2若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题.12345678910111210.(2016 四川)如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；解答 12(2)证明：平面PAB平面PBD.证明 12345678910111212345678910111211.(2016北京
18、)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；证明 PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)求证：平面PAB平面PAC；证明 ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.123456789101112(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.解答 123456789101112123456789101112*12.(2016山东)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC，求证：ACFB；证明 因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.证明 123456789101112