1、第三练 不等式、合情推理 高考总复习大二轮 数 学 考情考向高考导航1利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点2一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围3利用不等式解决实际问题4以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现真题体验1(2019全国卷)若变量 x，y 满足约束条件2x3y60，xy30，y20，则 z3xy 的最大值是_解析：画出线性区域如图，由 z3xy，知 y3xz，平移直线 y3x，过点(3,0)时，z 最大，即 zmax3309.答案：92(2019天津卷)设 x0
2、，y0，x2y5，则x12y1xy的最小值为_解析：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.x12y1xy2xyx2y1xy2xy6xy 2 2xy6xy4 3，等号当且仅当 xy3，即 x3，y1 时成立答案：4 33(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_解析：总费用 4x600 x 64x900 x42 900240，当且仅当 x900 x，即 x30 时等号成立答案：304(全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说，
3、你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：D 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话甲不知自己成绩乙、丙中必有一优一良(若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然)，乙看了丙成绩，知自己成绩丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩主干整合1不等式的解法(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax2bxc0(或0)(a0，b24ac0)，如果 a 与 ax2bxc 同号，则其解集在两根
4、之外；如果 a 与 ax2bxc 异号，则其解集在两根之间(2)简单分式不等式的解法fxgx0(0)f(x)g(x)0(0)fxgx0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解2几个不等式(1)a2b22ab(取等号的条件是当且仅当 ab)(2)abab22(a，bR)(3)a2b22ab2 ab 2abab(a0，b0)(4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，当 ab 时等号成立)3简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的
5、点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决热点一 不等式的性质及解法题组突破1(2019全国卷)若 ab，则()Aln(ab)0 B3a3bCa3b30 D|a|b|解析：C 若 ab，则 a3b3，即 a3b30.2(2019烟台三模)设 p：x2x200，q：1x2|x|20，则 p 是 q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A 当 p 成立时，x2x200，解之得 x5 或 x4，在此条件下1x2|x|20 成立，显然充分性成立当 q 成立时，1x2|x|20，解之得 x2 或1x1 或 x2，显然必要性不成立，因此 p 是q 的充分不必要条
6、件3(2020西安模拟)已知函数 f(x)2x12，x1，21x2，x1，则不等式f(x1)0 的解集为()Ax|0 x2 Bx|0 x3Cx|1x2 Dx|1x3解析：D 由题意，得 f(x1)2x22，x2，22x2，x2.当 x2 时，由 2x220，解得 2x3；当 x2 时，由 22x20，解得 1x2.综上所述，不等式 f(x1)0 的解集为x|1x3解不等式的常见策略(1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解(2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清
7、楚地求解热点二 简单的线性规划题组突破1(2019全国卷)记不等式组xy6，2xy0表示的平面区域为D.命题 p：(x，y)D,2xy9；命题 q：(x，y)D,2xy12.下面给出了四个命题pq pq pq pq这四个命题中，所有真命题的编号是()A BCD解析：A 本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假如图，平面区域 D 为阴影部分，由y2xxy6 得x2y4 即 A(2,4)，直线 2xy9 与直线 2xy12 均过区域 D，则 p 真
8、 q 假，有p 假q 真，所以真假故选A.2(2020湖北黄冈模拟)已知 x，y 满足约束条件xy40，x2，xyk0，且 zx3y 的最小值为 2，则常数 k_.解析：作出不等式组xy40，x2，xyk0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由 zx3y 得 y13xz3，结合图形可知当直线 y13xz3过点 A 时，z 最小联立方程，得x2，xyk0，得 A(2，2k)，此时 zmin23(2k)2，解得 k2.答案：23若实数 x，y 满足约束条件2xy40，x2y20，x10，则y1x 的最小值为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示因为y1x表示平面区域内的点与定点 P
9、(0,1)连线的斜率由图知，点 P 与点A1，12 连线的斜率最小，所以y1xminkPA12110 32.答案：324(2020福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时生产一把椅子的利润为 1 500 元，生产一张桌子的利润为 2 000 元该厂每个月木工最多完成 8 000 个工作时，漆工最多完成 1 300 个工作时根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是_元解析：设该厂每个月生产 x 把椅子，y 张桌子，利润为 z 元，则得约束条件4x8y8
10、 000，2xy1 300，x，yN，z1 500 x2 000y.画出不等式组x2y2 000，2xy1 300，x0，y0表示的可行域如图中阴影部分所示画出直线 3x4y0，平移该直线，可知当该直线经过点 P时，z 取得最大值由x2y2 000，2xy1 300，得x200，y900，即 P(200,900)，所以 zmax1 5002002 0009002 100 000.故每个月所获得的最大利润为 2 100 000 元答案：2 100 000简单的线性规划问题的解题策略在给定约束条件的情况下，求线性目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路步骤为：(1)根据约束条件作出可行域(2)根据
11、所要求的目标函数的最值，令目标函数 z0，将所得直线平移，得到可行解，并确定最优解(3)将取得最优解时的点的坐标确定，并求出此时的最优解热点三 基本不等式的应用例 1(1)(2020长春调研)若 a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为_(2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为 a，b(2a10)，剪去部分的面积为 8，则 1b1 9a9的最大值为()A1 B.1110C.65D2解析(1)a，bR，ab0，a44b41ab4a2b21ab4ab 1ab2 4ab 1ab4.当且仅当a22b2，4ab 1ab，即a2 22
12、，b2 24时取得等号故a44b41ab的最小值为 4.(2)由题意知，2ab8，所以 b4a.因为 2a10，所以 1b1 9a9 14a1 9a915a36a 1315132 a36a65，当且仅当 a36a，即 a6 时，1b1 9a9取得最大值65.答案(1)4(2)C利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值即化为 ym AgxBg(x)(
13、A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值(4)单调性：应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解(1)(2020山师附中模拟)已知 a1，b1，且 ab22(ab)，则 ab 的最小值为_解析：因为 ab22(ab)4 ab，当且仅当 ab 时取等号，所以(ab2)22.因为 a1，b1，所以 ab2 2，ab64 2.即 ab 的最小值为 64 2.答案：64 2(2)(2019昆明二模)已知正实数a，b满足 a3b7，则 11a 42b的最小值为_解析：11a42b 114(a1)3(2b)11a 42b 1141332ba1 4a12
14、b134 314，当且仅当32ba1 4a12b 时取等号答案：134 314(3)(双空填空题)若 a0，b0，且 a2b40，则 ab 的最大值为_，1a2b的最小值为_解析：本题考查基本不等式的应用a0，b0，且 a2b40，a2b4，ab12a2b12a2b222，当且仅当 a2b，即 a2，b1 时等号成立，ab 的最大值为 2.1a2b1a2b a2b41452ba 2ab 14522ba 2ab 94，当且仅当 ab 时等号成立，1a2b的最小值为94.答案：2 94热点四 合情推理逻辑推理素养逻辑推理合情推理中的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题
15、的思维过程主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.例 2(1)(2020济南模拟)我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角以下数表的构造思路就来源于杨辉三角从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数 a，则 a 的值为()A2 01821 008 B2 01821 009C2 02021 008D2 02021 009解析 C 通解 当第一行有 2 个数时，最后一行为 4221，当第一行有 3 个数时，最后一行为 12322，当第一行
16、有 4 个数时，最后一行为 32423，当第一行有 5 个数时，最后一行为 80524，依次类推，当第一行有 1 010 个数时，最后一行为 a1 01021 0092 02021 008，故选 C.优解 该三角形数表，从第一行开始，每行中间的数或中间两数的均值依次为 1 010,2 020,4 040,8 080，易知上述数列是一个首项为 1 010，公比为 2 的等比数列该三角形数表共有 1 010 行，所以最后一行的数 a1 01021 01011 01021 0092 02021 008，故选C.(2)学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品只评一个一等奖，在评奖揭晓前，甲、
17、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是 C 作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_解析 若获得一等奖的是 A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是 B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是 C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是 D，则只有甲同学说的话对故获得一等奖的作品是B.答案 B合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从
18、而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质(3)归纳推理的关键是找规律，类比推理的关键是看共性(1)(2019临沂三模)设ABC 的三边长分别为 a，b，c，ABC的面积为 S，则ABC 的内切圆半径为 r2Sabc.将此结论类比到空间四面体：设四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，体积为 V，则四面体的内切球半径为()A.VS1S2S3S4B.2VS1S2S3S4C.3VS1S2S3S4D.4VS1S2S3S4解析：C 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 r，所以四面体的体积
19、等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为：V13(S1S2S3S4)r，所以 r3VS1S2S3S4.(2)(2020江苏两市联考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为nn1212n212n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3)12n212n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)32n212n，六边形数N(n,6)2n2n，可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(8,12)_.解析：原已知式子可以化为 N(n,3)12n212n322 n2432 n，N(n,4)n2422 n2442 n，N(n,5)32n212n522 n2452 n，N(n,6)2n2n622 n2462 n，由归纳推理可得 N(n，k)k22 n24k2 n，故 N(8,12)12228241228288.答案：288