1、指导四 高考创新题型揭秘高考总复习大二轮 数 学 创新型数学问题的命制是以集合、函数图象与性质、立体几何、数列、复数等常规知识为基础，并用新的背景、新的情境等进行“包装”，使平淡的数学题焕发出新的活力，充满了无穷的魅力此类问题有利于考查考生在新情境下分析问题、解决问题的实际能力，有利于考查考生的发散性思维能力和探索、创新精神，是各级各类考试中一道亮丽的风景线 设置“新定义”“新定义”试题是指给出一个考生从未接触过的新规定、新概念，要求考生现学现用，其目的是考查考生的阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质此类问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式
2、出现，要求考生要先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路例 1(2020唐山调研)若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数 f(x)具有 M 性质下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为_f(x)2x f(x)3x f(x)x3 f(x)x22解析 设 g(x)exf(x)对于，g(x)ex2x(xR)，g(x)ex2xex2xln 2(1ln 2)ex2x0，函数 g(x)在 R 上单调递增，故中 f(x)具有 M 性质对于，g(x)ex3x(xR)，g(x)ex3xex3
3、xln 3(1ln 3)ex3x0，函数 g(x)在 R 上单调递减，故中 f(x)不具有 M 性质对于，g(x)exx3(xR)，g(x)exx3ex3x2(x3)exx2，当 x3 时，g(x)0，g(x)单调递减，故中 f(x)不具有 M性质对于，g(x)ex(x22)(xR)，g(x)ex(x22)ex2x(x22x2)ex(x1)21ex0，函数 g(x)在 R 上单调递增，故中 f(x)具有 M 性质综上，具有 M 性质的函数的序号为.答案 解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解如本例通过对函数 f(x)所具有 M 性质的理解，将问题转化为判
4、定函数是否具有此性质活学活用 1(2019青岛三模)已知函数 yf(x)(xR)对于函数 yg(x)(xI)，定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为函数 yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意 xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称若 h(x)是 g(x)4x2关于 f(x)3xb 的“对称函数”，且 h(x)g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是_解析：由于 g(x)4x2的图象是圆 x2y24 在 x 轴上方的半圆(包括与 x 轴的交点)，设这个半圆的一条切线方程为 y3xb1，则有b132122，解得 b12 10，要使得 h(x)g(x)恒成立，
5、则需 bb12 10.故实数 b 的取值范围为(2 10，)答案：(2 10，)设置“新运算”“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义的一种新的运算，是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如“*”“”“”等，这些符号与四则运算中的加减乘除符号是不一样的“新运算”类问题的情境一般比较陌生，求解时考生需要坦然面对，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题特别注意：新定义的算式在没有转化前，是不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的例 2 定义一种运算“”，对于任意 nN*均满足以下运算性质：(1)22 0171；(2)(2n2)2 017(2n)2 0173.
6、则 2 0182 017_.解析 设 an(2n)2 017，则由运算性质(1)知 a11，由运算性质(2)知 an1an3，即 an1an3.于是，数列an是等差数列，且首项为 1，公差为 3.故 2 0182 017(21 009)2 017a1 00911 00833 025.答案 3 025注意到(2n)2 017 与2(n1)2 017(2n2)2 017)结构相同，具体区别为前边是“n”，后边是“n1”，于是，可将它们看作某一数列的相邻两项，从而通过“换元”将不熟悉的“新运算”问题转化为熟悉的等差数列问题，这是求解本题的关键活学活用 2定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的
7、a(m，n)，b(p，q)，令 abmqnp.下面说法错误的是()A若 a 与 b 共线，则 ab0BabbaC对任意的 R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：B 若 a(m，n)与 b(p，q)共线，则 mqnp0，依运算“”知 ab0，故 A 正确，由于 abmqnp，又 banpmq，因此 abba，故 B 不正确由于 a(m，n)，因此(a)bmqnp，又(ab)(mqnp)mqnp，故 C 正确(ab)2(ab)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2(p2q2)(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故 D 正确设置“实际背景”以
8、现实中的生活实例或最新时事为背景，考查学生的应用能力和创新意识解决这类问题的关键，正确理解题意，建立数学模型例 3 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和费率浮动比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮 10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮 20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮 30%A4上一个年度发生一次有责任
9、不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 A1A2A3A4A5A6数量 105520155(1)求一辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损 5 000 元，一辆非事故车盈利 10 000 元且各种投保类型的
10、频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：若该销售商店内有 6 辆(车龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在其内随机挑选 2 辆车，求这 2 辆车恰好有一辆为事故车的概率；若该销售商一次购进 120 辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值解析(1)一辆普通 6 座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为15560 13.(2)由统计数据可知，该销售商店内的 6 辆该品牌车龄已满三年的二手车中有 2 辆事故车，设为 b1，b2,4 辆非事故车，设为 a1，a2，a3，a4.从 6 辆车中随机挑选 2 辆车的情况有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，
11、(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共 15 种其中 2 辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共 8 种所以该顾客在店内随机挑选 2 辆车，这 2 辆车恰好有一辆事故车的概率为 815.由统计数据可知，该销售商一次购进 120 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车 40 辆，非事故车 80 辆，所以一辆车盈利的平均值为 1120(5 0
12、00)4010 000805 000(元)本例以“交强险”这一实际生活实例为背景，考查了古典概型概率的求法以及平均值的计算活学活用 3几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 这 款 软 件 的 激 活 码 为 下 面 数 学 问 题 的 答 案：已 知 数 列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是 20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是()A44
13、0 B330C220 D110解析：A 设第一项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第 3 组，依次类推，则第 n 组的项数为 n，前 n 组的项数和为nn12.由题意可知，N100，令nn12100，得 n14，nN*，即 N 出现在第 13 组之后易得第 n 组的所有项的和为12n12 2n1，前 n 组的所有项的和为212n12 n2n1n2.设满足条件的 N 在第 k1(kN*，k13)组，且第 N 项为第 k1 组的第 t(tN*)个数，若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则第 k1 组的前 t 项的和 2t1 应与2k 互为相反数，即 2t1k2，2tk3，tl
14、og2(k3)，当 t4，k13 时，N131312495100，不满足题意；当 t5，k29 时，N2929125440；当 t5 时，N440，故选 A.设置“新模型”“新模型”试题指已知条件中给出具体的解题模型，需要考生将所给解题模型迁移至新情境中，对目标问题进行合理探究着重考查考生的阅读理解能力，接受能力，应变能力和创新、探究能力例 4 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A(2,3)且法向量为 n(4，1)的直线(点法式)方程为 4(x2)(1)(y3)0，化简得 4xy110.类比以上方法，在空间直角坐标系中
15、，经过点 B(1,2,3)且法向量为 m(1，2,1)的平面(点法式)方程为_解析 由题意可设 Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据BQ m，得BQ m0，所以(1)(x1)(2)(y2)1(z3)0，化简得 x2yz20.故所求平面方程为 x2yz20.答案 x2yz20本题求解的关键是具体探究所给解题过程：设 P(x，y)为所求直线上的任一点，则根据APn，得APn0，所以 4(x2)(1)(y3)0，化简得 4xy110.类比此解题过程，即可轻松解决目标问题活学活用 4(1)“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说明同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识在数学解题活动中，倘若能恰当
16、地改变分析问题的角度，往往会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感请阅读以下问题及其解答：问题：对任意 a1,1，不等式 x2ax20 恒成立，求实数x 的取值范围解析：令 f(a)xa(x22)，则对任意的 a1,1，不等式 x2ax20 恒成立，等价于f1x2x20，f1x2x20，解得1x1.故实数 x 的取值范围是1,1(2)类比上述解法，可得关于 x 的方程 2x3ax28x(a24a)0(a1)的根为_解析：因为 2x3ax28x(a24a)0，所以 a2(x24)a2(x34x)0，所以a2(x2)a(x22x)0，解得 a2(x2)或 ax22x，故所求方程的根为 x12a2
17、，x21 1a，x31 1a.答案：1 1a设置“新考查方向”“新考查方向”试题是指试题考查的方式、方法与常规试题不同，此类试题设计新颖，注意对所学数学知识、方法的有效整合，侧重考查考生的综合运用能力此类型问题的设置充分体现了考纲要求“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能例 5 我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加全国高中数学联赛(河南预赛)，他们取得的成绩(满分 140 分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81，乙班学生成绩的平
18、均数是 86.若正实数 a，b 满足 a，G，b 成等差数列且 x，G，y成等比数列，则1a4b的最小值为()A.49B2C.94D9解 析：C 由 题 意 及 茎 叶 图 可 知80 x 81，76808280y919396786，则 x1，y4.因为正实数a，b 满足 a，G，b 成等差数列且 x，G，y 成等比数列，所以 2Gab，G2xy4，所以 ab4，所以1a4b1a4b ab4 54 b4aab542 b4aab94，当且仅当 b2a83时取等号故选 C.本题以统计、数列知识为背景，考查基本不等式的运用，设计新颖，综合性强，体现了在知识交汇处命题的特点根据样本的数字特征及茎叶图求
19、得 x，y 的值，并利用等差、等比中项建立关于 a，b 的等量关系，即可将问题转化为常规的基本不等式求最值问题活学活用 5(2017全国卷)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若APABAD，则 的最大值为()A3 B2 2C.5D2解析：A 如图，建立平面直角坐标系则 A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，C(2,0)，设 P(x，y)根据等面积公式可得圆的半径 r 是 25，即圆的方程是(x2)2y245AP(x，y1)，AB(0，1)，AD(2,0)，若满足APABAD，即x2y1，x2，1y，所以 x2y1，设 zx2y1，即x2y1z0，点 P(x，y)在圆(x2)2y245上，所以圆心到直线的距离 dr，即|2z|141 25，解得 1z3，所以 z 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.