1、热点1坚持立德树人，倡导“五育”并举例1德育为先立德树人(2020全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A10名B18名C24名D32名B第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05，就按1 600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按
2、1 200份计算，因为公司可以完成配货1 200份订单，则至少需要志愿者为18名，故选B考法点津本题以志愿者参加某超市的配货工作为背景设计试题，试题的情境具有时代性，对考生具有积极的教育意义，发挥了思想教育功能，体现了对德育的渗透和引导以德育为背景的考题，多以民族精神、理想信念、道德品质、文明行为、社会公德、遵纪守法、心理健康等生活内容为题材. 例2智育为核提升能力(2020全国卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，a12，设1ijk12.若kj3且ji4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若kj4且ji3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位
3、小三和弦的个数之和为()A5 B8 C10 D15C法一：由题意，知ai，aj，ak构成原位大三和弦时，jk3，ij4，所以ai，aj，ak为原位大三和弦的情况有：k12，j9，i5；k11，j8，i4；k10，j7，i3；k9，j6，i2；k8，j5，i1，共5种ai，aj，ak构成原位小三和弦时，jk4，ij3，所以ai，aj，ak为原位小三和弦的情况有：k12，j8，i5；k11，j7，i4；k10，j6，i3；k9，j5，i2；k8，j4，i1，共5种所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C法二：由题意，知当ai，aj，ak为原位大三和弦时，kj3且
4、ji4，又1ijk12，所以5j9，所以这12个键可以构成的原位大三和弦的个数为5.当ai，aj，ak为原位小三和弦时，kj4且ji3，又1ijk12，所以4j8，所以这12个键可以构成的原位小三和弦的个数为5.所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C考法点津本题以钢琴上的12个键为背景，体现智育教育，解答本题有两个关键步骤：一是根据条件推出k与i的数量关系；二是讨论时要按照一定的顺序进行，防止重复与遗漏例3体育为基享乐强体(2020新高考全国卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该
5、中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A62% B56% C46% D42%C不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则10096%10060%x10082%，所以x46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C考法点津本题以学生喜欢的体育项目为背景设计试题，情境贴近实际，倡导学生积极参加体育锻炼，体现了数学抽象和数学运算等核心素养例4美育为魂陶养身心(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高
6、与底面正方形的边长的比值为()A B C DC设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h，则依题意有因此有h2ah4210(负值舍去)，故选C考法点津本题以世界建筑奇迹之一的古埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算问题，试题将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合，既考查学生的分析问题能力和数学文化素养，又将美育教育融入数学教育，展示了数学之美以美育为背景的考题，多以自然之美和创作之美等为题材. 例5劳育为本习得技能(2020新高考全国卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与
7、直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2.4作AM垂直于EF，交OH，DG于S，N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DG，垂足为Q，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，EMAM7，又EF12，MNDE2，NGMF1275，ANAMNM725，AGD45，BHDG，AHO45，由于AG是圆弧的切线，AGOA，AOHACN45，设大圆的半径为R，则ASOS，OQSN5，DQDNQN7，tanODC，解得R2，图中阴影部分面积分为扇形AOB和直
8、角AOH的面积减去小半圆的面积，S阴影(2)2221cm2.考法点津本题是以劳动教育为背景的考题，再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求在考查几何知识的同时，培养学生的数学应用意识，较好地发挥高考试题在培养劳动观念中的引导作用. 以劳动教育为背景的考题，多以社会实践、动手操作实验等为题材热点2 关注社会热点，凸现时代特色例6战胜疫情刻不容缓(2020全国卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊病
9、例数当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 193)()A60 B63 C66 D69C由已知可得0.95K，解得e，两边取对数有0.23(t*53)ln 19，解得t*66，故选C考法点津本题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合考生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查考生对指数函数基本知识的理解和掌握，使用数学模型解决实际问题的能力试题情境真实，素材取自于实际数据的研究成果，相关具体参数真实可靠，试题的设定和提问有充分的科学依据，坚持了命制应用性试题的基本原则，体现了科学性与时代性的结合例7污水治理大美河山(2020北京高考)为满足人民对美
10、好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf(t)，用的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_表示在a，b上割线斜率的相反数，越大，治理能力越强对于，在t1，t2这段时间内，甲企业对应图象的割
11、线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于，甲在t1，t2这段时间内的污水治理能力最强，错误综上，正确的序号为.考法点津本题以污水治理为背景，结合函数图象理解平均变化率、瞬时变化率即导数的几何意义，要求学生具备敏锐的观察力、分析问题的能力，启迪学生理解数学语言，用数学眼光认识世界，用数学的思维思考世界，体现了逻辑推理、数据分析等核心素养例8结合生
12、活相得益彰(2020潍坊模拟)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 t生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t)根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法不正确的是()“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060A厨余垃圾投放正确的概率为B生活垃圾投放错误的概率为C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收物”D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”
13、箱的投放量的方差为18 000D由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率为，可回收物投放正确的概率为，其他垃圾投放正确的概率为.对于A，厨余垃圾投放正确的概率为，故A正确；对于B，生活垃圾投放错误的有10010030302020300(t)，故生活垃圾投放错误的概率为，故B正确；对于C，该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收物”，故C正确；对于D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数200，可得方差s2(400200)2(100200)2(100200)220 000，故D错误故选D考法点津破解以生产、生活实际为背景的概率与方差相交汇试题的关键：一是认真读题
14、，读懂题意；二是会观察图表，会利用数据；三是会利用频率估计概率，会利用方差的公式求方差例9时政热点精准扶贫(2020广东茂名二模)为实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，某贫困县对贫困户实行购买饲料优惠政策(1)若购买饲料不超过2 000元，则不给予优惠；(2)若购买饲料超过2 000元但不超过5 000元，则按原价给予9折优惠；(3)若购买饲料超过5 000元，不超过5 000元的部分按原价给予9折优惠，超过5 000元的部分按原价给予7折优惠某贫困户欲购买一批饲料，有如下两种方案方案一：分两次付款购买，实际付款分别为2 880元和4 850元方案二：一次性付款购买若采取方案二购买此批饲料，
15、则比方案一节省()A540元 B620元 C640元 D800元C方案一：第一次付款2 880元，因为2 8802 000，所以其原价为3 200(元)；第二次付款4 850元，因为4 8504 500，所以其原价为5 0005 500(元)所以此批饲料的原价为3 2005 5008 700(元)方案二：若一次性付款，则应付款为(8 7005 000)0.75 0000.97 090(元)所以方案二比方案一节省(2 8804 850)7 090640(元)故选C考法点津本题以“精准扶贫”为背景，考查数学模型及其应用等知识破解此类题的关键是读懂题意，将实际问题转化为数学问题求解热点3融入其他学科
16、，突出数学本质例10数物结合考建模(2020广东南海中学模拟)若光线通过一块玻璃，强度损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃后强度变为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为yk0.9x，若要光线强度能减弱到原来的以下，那么光线通过这样的玻璃的块数至少为(lg 30.477 1，lg 20.301 0)()A12 B13 C14 D15C由题意知光线经过x块这样的玻璃后，强度变为y0.9xk.则0.9xk，即0.9x，两边同时取对数，可得xlg 0.9lg ，因为lg 0.9lg 10，所以x13.1，又xN*，所以至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下故选C考法点津本
17、题是以物理中的光线强度减弱为背景创设的，考查解指数不等式的实际应用题破解此类题的关键：一是认真读题，构建相应的模型；二是解模例11数地结合考想象(2020新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为()A20 B40 C50 D90B过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处
18、的水平面，GFCD，CDOB，AOB40，OAEOAF90，所以GFACAOAOB40.故选B考法点津本题以“日晷”为背景，以地理学科为载体考查空间线面位置关系及空间线面角等知识，反映了数学知识和方法在其他学科的应用常见的命题结合点还有数学与物理、数学与化学、数学与生物学等学科的交汇命题，此命题方式体现了数学的应用价值，提升数学素养，对学生的素质教育有很好的导向和促进作用. 热点1关注教材中的例题、习题例12(2020新高考全国卷)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.因为抛物线C的方程为y24x，所以抛物线C的焦点为F(1,0)，又直线AB过焦点F且斜率
19、为，所以直线AB的方程为y(x1)将其代入抛物线方程，消去y并化简得3x210x30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.法一：(两点间距离公式法)解方程3x210x30，可得x1，x23.所以y1，y2(31)2.故A，B(3,2)所以|AB|.法二：(弦长公式法)由根与系数的关系得x1x2，x1x21.又直线AB的斜率k，所以|AB|x1x2|.法三：(定义转化法)由根与系数的关系知x1x2，过A，B分别作准线x1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示则|AB|AF|BF|AC|BD|x11x21x1x22.秒杀解：(抛物线的焦点弦长公式法)由已知得直线AB的斜率k，所以直线AB
20、的倾斜角.则弦长|AB|.探源教材该题源于人教A版教材选修21第69页例4：斜率为1的直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长知识拓展若倾斜角为的直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|(两点间距离公式)|x1x2|(弦长公式)x1x2p(定义应用，课本例题中的解法)(抛物线的焦点弦长公式)热点2关注教材中的阅读材料例13(2020北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分
21、大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是()A3n B6nC3n D6n思路点拨先计算出单位圆的内接正6n边形和外切正6n边形的周长，再将它们的算术平均数作为2的近似值，即可得出结果A单位圆的内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为，边长为2sin ，所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin .单位圆的外切正6n边形的边长为2tan ，其周长为12ntan ，所以26n，则3n.故选A探源教材本题源于人教A版教材必修3第45页“阅读与思考”、人教A版教材必修5第20页【习题1.2】A组第12题，本题将面积变为周长，综合考查圆内接正多边形和圆外切正多边形的几何特征以及解三角形问题通过上述命题案例，我们不难发现：教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“源泉”，是高考试题的重要知识载体.课本题的深层属性承载着选拔题(试题库)的节点，本图书以最新的高考改革理念为纲，以教材的例题、习题为素材，本着“固基提能”的理念，力求在“变式”上下功夫，对每节知识的核心要点、重要习题都做了深入浅出、举一反三地类比、延伸和拓展.相信同学们通过一轮复习，定会对数学知识、学科素养等达到融会贯通，理性思维上升到一个全新的高度.