1、四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高一数学下学期第一次学月考试试题（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题有四个选项，只有一个是正确的1.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用差角的正弦公式可求结果.【详解】.故选：B.【点睛】本题主要考查差角的正弦公式，熟记公式的结构特征是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ）A. ，B. ，C ，D. ，【答案】B【解
2、析】【分析】以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现， 选项中的两个向量均共线，得到正确结果是【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求中两个向量是，则故与不共线，故正确；中两个向量是，两个向量共线，项中的两个向量是，两个向量共线，故选：【点睛】本题考查平面中两向量关系，属于基础题.3.计算的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：，故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.4.中所在的平面上的点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答
3、案】D【解析】【分析】已知，由向量的减法可得，再化简运算即可.【详解】解：因为，所以，所以，故选：D【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.5.设，是不共线的向量，已知，则（ ）A. 三点共线B. 三点共线C. 三点共线D. 三点共线【答案】C【解析】【分析】根据条件表示出，结合选项进行判断.【详解】因为，所以.所以 三点共线.故选：C.【点睛】本题主要考查利用向量判断三点共线问题，找出向量间的平行关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6.已知，则与的夹角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用夹角公式进行求解.【详解】因为，所以，即与
4、的夹角为.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量夹角的求解，明确夹角公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将平方，可求得的值，即可求得.【详解】由题意，则，所以.故选：D.【点睛】本题考查二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8.若点为角终边上一点，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据终边上点的坐标求出，然后把目标式转化为含有的式子可求.【详解】因为点为角终边上一点，所以；所以.故选：A.【点睛】本题主要考查齐次式的求解，根据三角函数的定义求出正
5、切值是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.A B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.【详解】故选C【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向10.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用，求出，把利用差角公式展开可求结果.【详解】因为，所以，.故选：A.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求
6、值问题一般是先看所求角与已知角之间的关系，侧重考查数学运算的核心素养.11.在中，是边中点，角的对边分别是，若，则的形状为（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形但不是等边三角形.【答案】C【解析】【详解】解答：由已知条件得；根据共面向量基本定理得：ABC为等边三角形。故答案为：等边三角形。12.已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（ ）A. 9B. 1C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】设出，用表示出，结合三角函数的知识可求最大值.【详解】当与重合时，此时；当与不重合时，设，因为，所以，所以
7、当，即时，取得最大值3.综上可知的最大值为3.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量模长的最值，利用三角函数表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.己知向量，且，则_；【答案】2【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示求出.【详解】因为，且，所以，即.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平面向量平行的坐标表示，向量平行时，坐标分量对应成比例，侧重考查数学运算的核心素养.14.已知锐角满足，则=_【答案】【解析】由题意可得：，由二倍角公式：15.若，则=_；【答案】【解析】【分析】利用角之间的关系进行
8、求解，利用诱导公式可求结果.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查诱导公式，明确已知角和所求角的关系，是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.如图，在等腰中，已知，分别是边上的点，且，其中，若的中点分别为，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】利用基向量表示出，利用二次函数知识求解最小值.【详解】，因为，所以，所以因为，所以，即，当时，取到最小值，所以的最小值是.【点睛】本题主要考查向量的最值问题，合理选用基底表示出目标向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡
9、相应的方框内17.已知（1）求 ； （2）求【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）先利用平方关系求出，再结合商关系可求；（2）根据及和角的正切公式可求.【详解】（1）因为，所以；所以.（2）由（1）得，所以.【点睛】本题主要考查三角函数同角的基本关系，已知弦函数利用平方关系可求另一个弦函数，结合商关系可得切函数，侧重考查数学运算的核心素养.18.已知（1）求； （2）若与垂直，求实数的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算进行求解；（2）先求出与的坐标，结合向量垂直可得实数的值.【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，因为与垂直，所以，即.【点睛】
10、本题主要考查平面向量的坐标运算，明确向量运算规则及垂直的坐标表示是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.19.已知，（1）求向量与夹角；（2）求；（3）求向量在方向上的投影【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）先利用求出，然后利用夹角公式可得；（2）先求，再开方可得；（3）先求，结合投影公式可得向量在方向上的投影【详解】（1）因为，所以，所以，即.（2）因为，所以.（3）因为，所以向量在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，明确向量夹角、模长及投影的求解方法是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.20.已知且；（1）求的值； （2）求【答案】（1）；（2）.【
11、解析】【分析】（1）根据的范围及可求的值；（2）先求，结合和角公式，求出，根据的范围可得角的大小.【详解】（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，所以，因为，所以，且；.因，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值和给值求角问题，给值求角主要是根据角的大致范围选定合适的函数，求出函数值，结合角的范围及函数值求解角.21.已知（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）先化简函数为最简形式，结合周期公式及单调区间的求解方法可得结果；（2）先求函数在区间上的最小值，然后可得答案.【详解】
12、（1）；所以的最小正周期为；令，得，所以的单调递增区间为.（2）当时，所以，即；因为恒成立，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，化简函数为最简形式是求解三角函数性质的关键，恒成立问题一般转化为最值问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.22.已知向量，若函数的最小正周期为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得的解析式；（2）先化简，利用换元法，设，把目标方程转化为关于的方程，分离参数后进行求解.【详解】（1）因为，所以.因为的最小正周期为，所以，即，所以.（2）由（1）可知.因为，所以.令，则，则方程可化为，即.因为，所以，所以.所以由题意可知，方程在时有解；令，当时，由得（舍）；当时，则可化为，令，设，则，因为，当且仅当时，取到最小值，当时，取到最大值8，所以，所以，解得或.所以实数的取值范围是或.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.