1、第七章单元质量检测时间：90分钟分值：100分 一、选择题(每小题4分，共40分)1某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱B圆锥C四面体D三棱柱解析：圆柱、四面体、三棱柱的正视图都有可能是三角形答案：A2用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A.B.C8D.解析：S圆r2r1，而截面圆圆心与球心的距离d1，所以球的半径为R.所以VR3，故选B.答案：B3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D816解析：将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解原几何体为组合体；上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体
2、积为V422224168.答案：A4已知a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中的假命题是()A若ab，则B若，则abC若a，b相交，则，相交D若，相交，则a，b相交解析：若，相交，则a，b可能相交，也可能异面，故D为假命题答案：D5设、是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A若，则B若m，n，则mnC若，m，则mD若，m，m，则m解析：对于A，若，可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m，n，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若，m，则m可以在平面内，C错；易知D正确答案：D6已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，
3、底面ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，BE(0，1，1)，CD1(0，1，2)，cosBE，CD1.答案：C7正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是()AAECGBAE与CG是异面直线C四边形ABC1F是正方形DAE平面BC1F解析：由正方体的几何特征，可得AEC1G.但AE与平面BCC1B1不垂直，
4、故AECG不成立；由于EGAC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；四边形ABC1F中，ABBC1，故四边形ABC1F是正方形是错误的；而AEC1F，由线面平行的判定定理，可得AE平面BC1F，故选D.答案：D8正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0，0，0)，F(1，0，1)，B1(1，0，2)，A1(1，0，2)，C1(0，2)，G.B1F(2，0，1)，EF(1，0，1)，FG.设平面GEF的一个法
5、向量为n(x，y，z)，由得令x1，则n(1，1)，设B1F与平面GEF所成角为，则sin|cosn，B1F|).答案：A9四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，EPC，FPB，PE3EC，PFFB，若AF平面BDE，则的值为()A1B3C2D4解析：因为AF平面BDE，所以过点A作AH平面BDE，交PC于H，连接FH，则得到平面AFH平面BDE，所以FHBE，因为EPC，FPB，PE3EC，PFFB，所以1，所以ECEH，又PE3EC，所以PH2HE，又因为2，所以2.答案：C10如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，
6、则下列结论不成立的是()AEF与BB1垂直BEF与BD垂直CEF与CD异面DEF与A1C1异面解析：连接B1C，AC，则B1C交BC1于F，且F为B1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綊AC，而B1B平面ABCD，所以B1BAC，所以B1BEF，A正确；又ACBD，所以EFBD，B正确；显然EF与CD异面，C正确；由EF綊AC，ACA1C1，得EFA1C1，故不成立的选项为D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11把一个半径为5 cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为_解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l，则由已知得解得h20(cm)答案
7、：20 cm12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q，R，S分别是AB，BC，C1D1，C1C，A1B1，B1B的中点，则下列判断：PQ与RS共面；MN与RS共面；PQ与MN共面则正确结论的序号是_解析：连接PR，SQ，可知SQ綊PR，所以四边形PQSR为平行四边形，所以PQRS，故正确；由图知直线MN过平面A1B外一点N，而直线RS不过M点，故MN与RS为异面直线，故错；由图知延长PQ与MN，则PQ与MN相交，故正确答案：13直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_解析：设球心为O，球半径为R，ABC的外心是M
8、，则O在底面ABC上的射影是点M，在ABC中，ABAC2，BAC120，ABC(180120)30，AM2.因此，R2225，此球的表面积等于4R220.答案：2014三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析：由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正确；取AB的中点E，连接CE，(如图)可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，正确答案：三、解答题(共4小题，共44
9、分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)15(10分)已知点P在矩形ABCD的边DC上，AB2，BC1，点F在AB边上且DFAP，垂足为E，将ADP沿AP边折起，使点D位于D位置，连接DB、DC得四棱锥DABCP.(1)求证：DFAP；(2)若PD1，且平面DAP平面ABCP，求四棱锥DABCP的体积解：(1)证明：APDE，APEF，DEEFE，AP平面DEF，APDF.(2)连接PF，PD1，四边形ADPF是边长为1的正方形，DEDEEF.平面DAP平面ABCP，DEAP，DE平面ABCP，S梯形ABCP(12)1，VDABCPDES梯形ABCP.16(10分)如图，ABAD，B
10、AD90，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边BCD沿BD折叠成BCD的位置，使得ADCB.(1)求证：平面GNM平面ADC.(2)求证：CA平面ABD.证明：(1)因为M，N分别是BD，BC的中点，所以MNDC.因为MN平面ADC，DC平面ADC，所以MN平面ADC.同理NG平面ADC.又因为MNNGN，所以平面GNM平面ADC.(2)因为BAD90，所以ADAB.又因为ADCB，且ABCBB，所以AD平面CAB.因为CA平面CAB，所以ADCA.因为BCD是等边三角形，ABAD，不妨设AB1，则BCCDBD，可得CA1.由勾股定理的逆定理，可得ABCA.因为ABADA，所以CA平
11、面ABD.17(12分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，BAD90，ADBC，且A1AABAD2BC2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.(1)证明：A1F平面B1CE；(2)若E是棱AB的中点，求二面角A1ECD的余弦值；(3)求三棱锥B1A1EF的体积的最大值解：(1)证明：因为ABCDA1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD平面A1B1C1D1.又因为平面ABCD平面A1ECFEC，平面A1B1C1D1平面A1ECFA1F，所以A1FEC.又因为A1F平面B1CE，EC平面B1CE，所以A1F平面B1CE.(2)解：因为AA1底面ABCD，
12、BAD90，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图，则A1(0，0，2)，E(1，0，0)，C(2，1，0)，所以A1E(1，0，2)，A1C(2，1，2)设平面A1ECF的法向量为m(x，y，z)，由A1Em0，A1Cm0，得令z1，得m(2，2，1)又因为平面DEC的法向量为n(0，0，1)，所以cosm，n.由图可知，二面角A1ECD的平面角为锐角，所以二面角A1ECD的余弦值为.(3)过点F作FMA1B1于点M，因为平面A1ABB1平面A1B1C1D1，FM平面A1B1C1D1，所以FM平面A1ABB1.所以VB1A
13、1EFVFB1A1ESA1B1EFMFMFM.因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，所以当F与点D1重合时，三棱锥B1A1EF的体积的最大值为.18(12分)(2016山西四校联考)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点(1)证明：DFAE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：AEA1B1，A1B1AB，ABAE.ABAA1，AEAA1A，AB平面A1ACC1.AC平面A1ACC1，ABAC.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，E，F，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)设点D的坐标为(x，y，z)，A1DA1B1，且0，1，则(x，y，z1)(1，0，0)，点D的坐标为(，0，1)，DF.又AE，DFAE0.DFAE.(2)假设存在，设平面DEF的法向量为n(x1，y1，z1)，则FE，DF，即令z12(1)，则n(3，12，2(1)由题可知平面ABC的一个法向量m(0，0，1)平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，|cosm，n|，即，解得或(舍)当点D为A1B1的中点时，满足要求