1、昌平区20122013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数 学 试 卷（理科） （满分150分，考试时间 120分钟）2013.4考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任
2、何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C，所以，选C.（2）已知命题 ，那么下列结论正确的是 A. 命题 B命题C命题 D命题 【答案】B全称命题的否定是特称命题，所以命题，选B. (3)圆的圆心到直线（为参数）的距离为A. B.1 C. D. 【答案】A直线的直角方程为，所以圆心到直线的距离为，选A. (4)设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大
3、值为A. B. C. D. 【答案】D抛物线的准线方程为，所以做出对应的三角形区域如图。由，得。平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最小，此时z最大。由得，即，代入得最大值，选D. (5) 在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为A. B. C. D. 【答案】C由得，解得，所以事件“”发生的概率为，选C.(6) 已知四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是A B C D【答案】C由三视图可知该几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为，此三角形的面积为：两个侧面面积为：，前
4、面三角形的面积为：。所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6，选C.（7）如图，在边长为2的菱形中，为的中点，则的值为 A1 B C D【答案】A,，因为，所以.所以，选A.(8)设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，.给出下列结论： ； ； 的值是中最大的； 使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是 A. B. C. D. 【答案】B由得，由得，即，所以，所以正确。因为，所以，即错误。，所以错误。，而，所以使成立的最大自然数等于198，所以正确。所以选B.第卷（非选择题 共110分）一、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）二项式的展
5、开式中的系数为_.【答案】80展开式的通项公式为，由，解得，所以，所以的系数为80.（10）双曲线的一条渐近线方程为，则 .【答案】双曲线的渐近线方程为，即。（11） 如图，切圆于点,为圆的直径，交圆于点，为的中点，且则_；_.【答案】 ； 连结AD，则，设，则，同时,所以，即，解得或，舍去。即。则，所以,所以。（12）执行如图所示的程序框图，若是时，输出的值为 ；若是时，输出的值为 .开始输出结束图1是否【答案】；若是时。当时，。当时，。当时，。当时，。当时，。当时，此时不满足条件输出。是。因为的周期是，所以。所以.（13）已知函数。若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .【答案
6、】当单调递减，且，当时，单调递增，且，所以要使方程有两个不同的实根，则有。（14）曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹.给出下列四个结论：曲线过点；曲线关于点对称； 若点在曲线上，点分别在直线上，则不小于设为曲线上任意一点，则点关于直线、点及直线对称的点分别为、，则四边形的面积为定值.其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】设动点为，则由条件可知。，将代入得，所以不成立。故方程不过此点，所以错。把方程中的被代换，被 代换，方程不变，故此曲线关于对称正确。，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线上，则，所以，故正确。，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形的面积为所以正
7、确。综上所有正确结论的序号是。三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分13分）已知函数.（）求；（）求的最小正周期及单调递增区间. （16）（本小题满分14分）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,、分别为、的中点() 求证： /平面；() 求证：面平面； () 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为？说明理由.（17）（本小题满分13分）某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：满意级别 非常满意 满
8、意 一般 不满意满意指数（分） 90 60 30 0人数（个） 15 17 6 2 （I）求这40位市民满意指数的平均值； （II）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数求的分布列； （III）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为，求的概率（18）（本小题满分13分）已知函数（）若求在处的切线方程；（）求在区间上的最小值；（III）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.（19）（本小题满分13分）如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，
9、椭圆的离心率，为椭圆的左焦点，且 .（I）求此椭圆的方程；（II）设是此椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得. 连接并延长交直线于点为的中点，判定直线与以为直径的圆的位置关系（20）（本小题满分14分）设数列对任意都有(其中、是常数) （I）当，时，求；（II）当，时，若，求数列的通项公式；（III）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，时，设是数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列” ，使得对任意，都有，且若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由昌平区20122013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数 学 试卷 参考答案（
10、理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) 题 号 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 答案 C B A D CC A B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） ； （12）； （13） （14） 三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）(本小题满分13分)解：（）.4分 .6分（）的最小正周期.8分 又由可得 函数的单调递增区间为.13分（16）(本小题满分14分)()证明：连结，为正方形，为中点，为中点.在中，/ .2分且平面，平
11、面 4分()证明：因为平面平面，平面面为正方形，平面所以平面. 6分又，所以是等腰直角三角形，且即 ，且、面面 又面，面面.9分() 如图,取的中点, 连结,., .侧面底面, , 而分别为的中点,又是正方形,故.,.以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,则有,.若在上存在点使得二面角的余弦值为 ，连结设.由()知平面的法向量为.设平面的法向量为.,由可得,令,则,故,解得，.所以，在线段上存在点,使得二面角的余弦值为. .14分（17）（本小题满分13分）解：（）记表示这40位市民满意指数的平均值，则（分）2分（）的可能取值为0、1、2、3. 的分布列为128分（）设所有满足条件的事件为
12、满足的事件数为：满足的事件数为：满足的事件数为：所以满足条件的事件的概率为.13分（18）（本小题满分13分）解：（I）在处的切线方程为.3分（）由由及定义域为，令若在上，在上单调递增，因此,在区间的最小值为.若在上，单调递减；在上，单调递增，因此在区间上的最小值为若在上，在上单调递减，因此,在区间上的最小值为.综上，当时，；当时，；当时，. .9分(III) 由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当时，要使在区间上恰有两个零点，则 即，此时，.所以，的取值范围为.13分（19）（本小题满分13分）解：（）由题意可知，, ， 又， ，解得所求椭圆方程为5分 （）设，则 由 所以直线方程由得直线 由 又点的坐标满足椭圆方程得到： ，所以 直线的方程：化简整理得到： 即 所以点到直线的距离直线与为直径的圆相切. 13分（20）（本小题满分14分）解：（I）当，时， 用去代得， 得，2分在中令得，则0，数列是以首项为1，公比为3的等比数列，=.4分（II）当，时， 用去代得， 得， ， .用去代得， 得，即，.数列是等差数列.，公差，9分（III）由（II）知数列是等差数列，.又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使，得，故是偶数，10分又由已知，故.一方面，当时，对任意，都有.另一方面，当时，则，取，则，不合题意.当时，则，当时，又，或或或.14分