1、8.1 二分法与求方程近似解 8.1.2 用二分法求方程的近似解 第8章 函数应用 学 习 任 务核 心 素 养1通过实例理解二分法的概念(难点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法3能够借助计算器用二分法求方程的近似解(重点)借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理数学建模、数学抽象的数学核心素养.情境导学探新知 NO.1通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数 f(x)ln x2x6 零点的近似值(精确到 0.1)知识点1 二分法的定义对于在区间a，b上的图象_且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两
2、个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)0的近似解的方法叫做二分法连续不断f(a)f(b)0一分为二1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()A B C D答案 A知识点2 用二分法求一元方程f(x)0近似解的步骤(1)确定区间：一元方程f(x)0的根所在的区间a，b，使_.(2)求区间(a，b)的中点：x1_.f(a)f(b)0ab2(3)计算 f(x1)若 f(x1)0，则_就是一元方程 f(x)0 的近似解；若 f(a)f(x1)0，则令 bx1，此时零点 x0_；若 f(x1)f(b)0，则令 ax1，此时零点 x0_(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一
3、元方程 f(x)0 近似解，否则重复步骤(2)(4)x1(a，x1)(x1，b)用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值如求 f(x)g(x)的近似解时可构造函数 h(x)f(x)g(x)，将问题转化为求 h(x)的零点近似值的问题2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数 f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将 yf(x)在a，b内的所有零点得到()提示 四句话都是错的(1)中，二分法求出的解也有精确
4、解，如f(x)x1 在(0,2)上用二分法求解时，中点为 x1，而 f(1)0.(2)中，f(x)|x|0，不能用二分法(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧(4)中 f(x)在a，b内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解答案(1)(2)(3)(4)合作探究释疑难 NO.2类型1“二分法”的概念 类型2 用“二分法”求方程的近似解 类型 1“二分法”的概念【例 1】下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能
5、用二分法求函数零点近以值的是()A B C DD 根据二分法的基本方法，函数 f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且 f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值对各图象分析可知，选项 A、B、C都符合条件，而选项 D 不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值故选 D.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用D 图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号的
6、零点有 3 个，所以用二分法求解的个数为 3，故选 D.跟进训练1已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4 B3,4C5,4 D4,32关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是()A“二分法”求方程的近似解一定可将 yf(x)在a，b内的所有零点得到B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 yf(x)在a，b内的零点C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可能无零点D“二分法”求方程的近似解可能得到 f(x)0 在a，b内的精确解D 如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，A 错误；
7、二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，B 错误；C 只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，C 错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，D 正确类型 2 用“二分法”求方程的近似解【例 2】用二分法求方程 2x33x30 的一个正实数近似解(精确度 0.1)解 令 f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点，即方程 2x33x30 在(0,1)内有解取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，所以方程 2x33x30 在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间
8、，如表：(a，b)中点 cf(a)f(b)fab2(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5,0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以 0.75 可作为方程的一个正实数近似解1(变条件)若本例中的“精确度 0.1”换为“精确度 0.05”结论又如何？解 在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点 x0.71
9、8 75，因为 f(0.718 75)0 且|0.718 750.75|0.031 250.05，所以x0.72 可作为方程的一个近似解2(变条件)若本例中的方程“2x33x30”换为“x22x1”其结论又如何呢？解 设 f(x)x22x1.f(2)10.在区间(2,3)内，方程 x22x10 有一解，记为 x0.取 2 与 3 的平均数 2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取 2 与 2.5 的平均数 2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；如此继续下去，有f(2.375)0 x0(2.375,2.5)；f(2.375)0 x0(2.375,2.437 5)
10、|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程 x22x1 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5.用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程 f(x)0 的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如 f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如 F(x)f(x)g(x)0 的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解跟进训练3求3 2的近似值(精确到 0.1)解 3 2是 x32 的根，因此可构造 f(x)x32，问题转化为“求f(x)的零点的近
11、似解”用二分法求其零点由 f(1)10.故可取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐次计算，如下：f(1)0 x1(1,1.5)，f(1.25)0 x1(1.25,1.5)，f(1.25)0 x1(1.25,1.375)，f(1.25)0 x1(1.25,1.312 5)，至此可见，区间1.25,1.312 5上所有值精确到 0.1 均为 1.3，所以1.3 是3 2精确到 0.1 的近似值当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 B 依“二分法”的具体步骤可知，越大，近似解的精确度越低1用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到 的说法正确的是()A 越大，近似解的精确度越高B 越大，近似
12、解的精确度越低C重复计算次数就是 D重复计算次数与 无关1 2 3 4 5 D 因第一次所取的区间是2,4，所以第二次所取的区间可能是2,1，1,4；第三次所取的区间可能为2，0.5，0.5,1，1,2.5，2.5,4，只有 D 在其中，故答案为 D.2在用二分法求函数 f(x)零点近似值时，第一次取的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4 B2,1C2,2.5 D0.5,11 2 3 4 5 x3 因为 x3 左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解3已知函数 yf(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是_1 2 3 4 5(2,3)由 f(2)f(3)0 可知，x0
13、(2,3)4用二分法求函数 yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)f(4)0，精确到 0.1，取区间(2,4)的中点 x1242 3，计算得 f(2)f(x1)0，则此时零点 x0_.(填区间)5 1 2 3 4 5如图，一块电路板的线路 AB 之间有 64 个串联的焊接点(不含端点 A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测_次5 1 2 3 4 6 第 1 次取中点把焊点数减半为642 32，第 2 次取中点把焊点数减半为322 16，第 3 次取中点把焊点数减半为162 8，第 4 次取中点把焊点数减半为824，第 5 次取中点把焊点数减半为422，第 6 次取中点把焊点数减半为221，所以至多需要检测的次数是 6.回顾本节知识，自我完成以下问题1用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示(1)f(x)在区间(a，b)上的图象连续不断(2)在区间(a，b)端点的函数值 f(a)f(b)0.2使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？提示 零点存在定理点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
