1、 1了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用 2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 考向预测 1考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用 2主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，多以中低档题为主 知识梳理 1根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为 2根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为 3归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；类比推理是两类事物特征之间的推理 归纳推
2、理和类比推理是最常见的合情推理归纳推理类比推理基础自测1已知数列an的前 n 项和 Snn2an(n2)，而 a11，通过计算 a2、a3、a4，猜想 an()A.2n12 B.2nn1C.22n1D.22n1 答案 B解析 由 Snn2an 知 Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2an，an1 nn2an(a2)，当 n2 时，S24a2，又 S2a1a2，a2a13 13，a324a216，a435a3 110.由 a11，a213，a316，a4 110，猜想 an2nn1，故选 B.答案 C 解析 当n1时，值为0；当n2时，值为0；当n3
3、时，值为2；当n4时，值为0；当n5时，值为6.2利用归纳推理推断，当 n 是自然数时，18(n21)1(1)n的值()A一定是零B不一定是整数C一定是偶数D是整数但不一定是偶数 3对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心 B一条垂线上的点，但不是垂心 C一条角平分线上的点，但不是内心 D中心 答案 D 解析 边的中点对应于面的中心 4(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A2 B4 C6 D8 答案 C 解析 因为其规律是a为肩上两数之和
4、，故a336.(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等；各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等 A B C D 答案 B 解析 类比的原则是“类比前后保持类比的一致性，”而违背了这一原则答案 13R(S1S2S3S4)解析 通过类比，可把四面体分割为四部分5在平面几何中，若三角形内切圆的半径为 r，三边长分别为 a，b，c，则三角形的面积 S12r(abc)成立，类比上述结
5、论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为 R，四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则这个四面体的体积 V_成立 6(2010陕西理)观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_ 答案 132333435363212解析 由 132333n3nn122知 n6 时为132333435363212.7在数列an中，a11，an1 2an2an(nN*)，试猜想这个数列的通项公式解析 a1122，a2 2a12a123，a3 2a22a2432231224，a4 2a32a3 121225，猜想：an 2n1.例1 通过归纳
6、推理完成下列各题：(1)观察下表 11 358 791127 1315171964 据此你可归纳猜想出的结论是_(2)观察下式：1322 13532 135742 1357952 据此你可归纳猜想出的一般结论为_(3)设数列an的前n项和为Sn，Sn2nan(nN*)，计算前4项，归纳出an_.(4)平面上两条直线最多有一个交点，三条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，则n条直线(nN*，n2)最多有_个交点 答案(1)n(n1)1n(n1)3n(n1)(2n1)n3(2)135(2n1)n2(3)2n12n1(4)12n(n1)点评 由特殊结果，归纳总结出一
7、般结论，是一种很重要的题型、结论正确，可以给出一般性的证明 归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠当正三角形的边长为 n(nN*)时，图(1)中点的个数为 f3(n)123(n1)12(n1)(n2)；当正方形的边长为 n时，图(2)中点的个数为 f4(n)(n1)2；在计算图(3)中边长为n 的正五边形中点的个数 f5(n)时，观察图(4)可得 f5(n)f4(n)f3(n1)(n1)2nn1212(n1)(3n2)；.则边长为 n的正 k 边
8、形(k3，kN)中点的个数 fk(n)_。分析 通过对从正三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正五边形中点的个数的过程，归纳出通过三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正k边形中点的个数的规律，从而进行解答答案 12(n1)(k2)n2解析 观察对边长为 n 的正五边形的“分割”，那么对边长为 n 的正六边形分割时就又多了一个点数为 f3(n1)的三角形，依次类推可以推知边长为 n 的正 k(k5，kN)边形就可以分割为一个点数为 f4(n)的四边形和 k4 个点数为f3(n1)的三角形，即 fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)，并且这个规律对 k3,4 也成立，这样 fk(n)f4
9、(n)(k4)f3(n1)(n1)2(k4)nn1212(n1)(k2)n2(k3，kN).例2 在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想 分析考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体PABC，且三个面分别与面ABC所成的二面角分别是、.解析 如图，在 RtABC 中，cos2Acos2Bbc2ac2a2b2c21.于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，三棱锥PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为、，则cos2cos2cos21.已知等差数列an：7，5，3，1，1
10、,3,5,7,9，设其前n项和为Sn，易知a4a50，且有S1S7，S2S6，S3S5，一般地，对于等差数列an，其前n项和为Sn，若存在kN*，k2，使akak10，则对任意的nN*，且n2k1，等式S2knSn恒成立请你用类比的方法，写出等比数列bn中相应的正确命题，并给予证明 解析 命题为：对于等比数列an，其前n项之积为Tn，若存在kN*，k2，使bkbk11，则对任意nN*且n2k1等式T2knTn恒成立 证明如下：设bn的公比为q，由bkbk11知，例 3 椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的不平行于对称轴且不过原点为的
11、弦，M为AB的中点，则kOMkABb2a2那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为 AB 的中点，则 kOMkAB_。分析 推理与证明是新增内容，也是一个重要内容，考试说明对推理论证能力的考查提出了较高的要求：能够根据已知的事实和已经获得的正确命题，运用归纳、类比和演绎的方法进行推理，论证某一命题的正确性解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有x0 x1x22y0y1y22x12a2y12b21，x22a2y22b21.两式相减得x12x22a2y12y22b2，即x1x2x1x2a2y1y2y1
12、y2b2，即y1y2y1y2x1x2x1x2b2a2，即 kOMkABb2a2.答案 b2a2 1归纳是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，具有以下几个特点：(1)归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围；(2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的 2类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想