1、 考纲解读 1了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 考向预测 1以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件 2考查方式灵活，可出选择题、填空题，也可出解答题 3以不等式的证明为载体，与其他知识结合在一起来考查基本不等式，证明不会太难 2几个重要的不等式(1)a2b2(a，bR)(2)(a，b同号)知识梳理1基本不等式如果 a、b 都是正数，那么ab2 ab，当且仅当时，等号成立ab2ab2(3)abab22(a，bR)3算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为
2、：4利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，xy有最小值是.(简记：积定和最小)ab2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数xy2 p(2)如果和xy是定值S，那么当且仅当时，xy有最值是.(简记：和定积最大)xy大S245以下关系式经常用到：(1)1aa2(a0)，1aa2(aab(ba0，m0)基础自测 1(2010全国卷)已知函数f(x)|1gx|，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()A(1，)B1，)C(2，)D2，)答案 C 解析 该题考查数形结合的思想和均值不等式 作出y|lgx|的图像，ab，不妨设ab.f(a)
3、f(b)，0a1，即lgalgb，即lgab0，ab1，ab，由均值不等式 ab2 ab2.2(教材改编题)在下列函数中，当 x 取正数时，最小值为 2 的是()Ayx4xBylgx 1lgxCy x211x21Dyx22x3 答案 D解析 对于 A，yx4x2x4x4(当 x2 时取等号)；对于 B，x0，lgxR，ylgx 1lgx2 或 y2(当 x10 或 x 110时取等号)；对于 C，y x211x212(当 x211，即 x0 时取等号)，而 x0，y2；对于 D，y(x1)222(当 x1 时取等号)答案 B 解析 本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用3(2009天津
4、理)设 a0，b0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a1b的最小值为()A8 B4C1 D.14根据题意得 3a3b3，ab1，1a1baba abb 2baab4.当 ab12时“”成立故选 B.4若直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则1a1b的最小值为()A.14B.12C2 D4 答案 D解析 圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆的直径为 4，而直线被圆截得的弦长为 4，则直线应过圆心，2a2b20，即 ab1，1a1b1a1b(ab)11baab22baab4(等号在 ab12时成立)5(2011山东威海模拟)已知 x0，y0
5、，lg2xlg8ylg2，则1x 13y的最小值是_ 答案 4解析 由已知易得 x3y1，所以1x 13y1x 13y(x3y)23yx x3y223yx x3y4，当且仅当3yx x3y时取得等号 6某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨 答案 20 解析 设一年总费用为y万元，则 y4400 x 4x1600 x 4x160，当且仅当1600 x 4x，即 x20 时取等号，所以当 x20 吨时，一年的总费用最小 7已知x0，y0.求证：(1x2)(1y2)4xy.证明 x0，y0，1x2
6、2x0(当x1时取等号)，1y22y0(当y1时取等号)，(1x2)(1y2)2x2y4xy(当xy1时取等号)分析 由不等式左边含字母a，b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因ab1，能否把左边展开，实行“1”的代换例 1 已知 a0，b0，ab1.求证：11a 11b 9.解析 方法一 因为 a0，b0，ab1.所以 11a1aba 2ba.同理 11b2ab.所以11a 11b 2ba 2ab52baab 549.所以11a 11b 9(当且仅当 ab12时等号成立)方法二 11a 11b 11a1b 1ab1abab 1ab1 2ab，因为 a，b
7、为正数，ab1，所以 abab2214，于是 1ab4，2ab8，因此11a 11b 189(当且仅当 ab12时等号成立)点评 为了证明的需要，常将欲证不等式的两端或一端进行变形，其目的是为了利用有关的不等式性质“变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数，“1”的代换法等证明不等式时，除了已知基本不等式的直接使用，还应掌握由已知不等式简单变形而得到的一些常用结论，如21a1b abab2a2b22(a0，b0)；baab2(ab0)或baab2(ab0)；(ab)1a1b 4(a0，b0)；a2b2c2abbcca 等(1)证明：若 a1，a2 是正实数，则有a12a2
8、a22a1 a1a2；(2)请你把上述不等式推广到一般情形，并证明你的结论解析(1)因为 a1，a2 是正实数，所以a12a2 a22a1，a22a1 a12a2，故a12a2 a2a22a1 a12a12a2，即a12a2 a22a1 a1a2.(2)推广：a1，a2，an 都是正实数，则有a12a2 a22a3 an12an an2a1 a1a2an.证明如下：因为 a1，a2，an 都是正实数，所以a12a2 a22a1，a22a3 a32a2，an12an an2an1，an2a1 a12an，故a12a2 a2a22a3 a3an12an anan2a1 a12(a1a2an)，即a
9、12a2 a22a3 an12an an2a1 a1a2an.点评 利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为需求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.分析 此题为条件最值，考虑从条件能否得到xy的不等式，或能否转化为只含x或只含y的函数式，或“1”的代换例 2 已知 x0，y0 且2x3y1，求 xy 的最小值解析 方法一 2x 3y 126xyxy26xy24，当且仅当2x3y12，即 x4，y6 时不等式取得等号方法二 整体代换法xyxy2
10、x3y 2y3x2 6xy xy2 6，即 xy24.当且仅当 2y3x，即 x4，y6 时不等式取得等号方法三 三角换元法令2xsin2，3ycos2，(0，2)，故 xy6sin2cos224sin2224，当且仅当 sin2214，即 x4，y6 时不等式取得等号方法四 3y12xx2xy 3xx2x0，y0，即 3xx20，x2xy 3x2x23x224x24x23x2 4x24 32x2 4x24 24当且仅当 x22，即 x4 时成立x4，y6 时，xy 取最小值 24.点评 用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不
11、等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立(1)若正数 x、y 满足 x2y1，求1x1y的最小值；(2)若 x、yR，且 2x8yxy0.求 xy 的最小值 分析(1)第一小题注意1的代换与使用，也可以三角换元注意运用基本不等式时等号成立的条件(2)第二小题可消去一个变量，将xy用一个变量表示，再配凑出能运用基本不等式的条件解析(1)x、yR，x2y1，1x1yx2yxx2yy32yx xy322yx xy32 2.等
12、号在2yx xy且 x2y1 即 y1 22，x 21 时成立(2)由 2x8yxy0 得 y(x8)2x.x0，y0，x80，y 2xx8.uxyx 2xx8x2x1616x8(x8)16x8102x816x81018.等号在 x8 16x8即 x12，y6 时成立 点 评 第(1)题 常 有 以 下 错 误 解 法：1 x 2y2 2xy，1xy2 2，1x1y21xy4 2.错误的原因在两次运用基本不等式的时候取等号的条件矛盾(第一次须x2y，第二次须 xy)第(2)小题也可以这样解：由已知得2y8x1，xy(xy)8x3y 828yx 2xy 18，(当且仅当8yx 2xy，即 x2y
13、12 时取“”)，xy 的最小值为 18.求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.例3(2009湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)(1)将总费用y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用 解析 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，
14、考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y45x180(x2)1802a225x360a360由已知 xa360，得 a360 x，所以 y225x3602x 360(x0)(2)x0，225x3602x 2 225360210800y225x3602x 36010440.当且仅当 225x3602x时，等号成立即当 x24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元 某食品厂定期购买面粉已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购
15、买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解析(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨由题意知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)62619x(x1)设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则y11x9x(x1)90061800900 x 9x108092900 x 9x1080910989.当且仅当 9x900 x，即 x10 时取等号即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若厂家利用此优惠条件
16、，则至少每隔 35 天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2 元，则y21x9x(x1)900618000.90900 x 9x9720(x35)令 f(x)x100 x(x35)，x2x135，则f(x1)f(x2)x1100 x1 x2100 x2x2x1100 x1x2x1x2x2x135.x2x10，x1x20,100 x1x20.f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)即 f(x)x100 x，当 x35 时为增函数当 x35 时，f(x)有最小值，此时 y210989.该厂应该接受此优惠条件1基本不等式 abab2(1
17、)注意不等式成立的条件 a0，b0.当 a0，b0 时，ab2、ab分别叫做这两个正数的算术平均数、几何平均数，因此，该不等式又可记作两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想 2创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法3求函数 yaxbx(a0，b0)的值域，主要依据基本不等式(两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)及函数的单调性：函数 yaxbx(a0，b0)在(，ab)和(ab，)上为增函数，在ab，0)和(0，ab上为减函数