1、1.3 算法案例 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 1.通过辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法的学习,进一步体会算法思想;2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法的含义;(重点)3.了解其计算过程;(重点)4.了解其算法程序框图和程序(难点)1.回顾算法的三种表述：自然语言 程序框图（三种逻辑结构）程序语言（五种基本语句）2.小学学过的求两个数最大公约数的方法.先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.例如：求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数 25（1）5 5 3
2、5 7 49（2）7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5.所以，49和63的最大公约数为7.除了用这种方法外还有没有其他方法吗？辗转相除法（欧几里得算法）思考：算出8 251和6 105的最大公约数.第一步,用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8 251=6 1051+2 146.结论：8 251和6 105的公约数就是6 105和2 146的公约数，求8 251和6 105的最大公约数，只要求出6 105和2 146的最大公约数就可以了.为什么？第二步,对6 105和2 146重复第一步的做法，6 105=2 1462+1 813，同理6 105和2 146的最大公约数也是
3、2 146和1 813的最大公约数.完整的过程:8 251=6 1051+2 146 6 105=2 1462+1 813 2 146=1 8131+333 1 813=3335+148 333=1482+37 148=374+0 显然37是148和37的最大公约数，也就是8 251和6 105的最大公约数.所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.（1）辗转相除法（2）算法步骤 第一步,输入两个正整数m,n(mn).第二步,计算m除以n所得的余数r
4、.第三步,m=n,n=r.第四步,若r0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步,输出最大公约数m.（3）程序框图（4）程序 INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n=r r=0？是 输出m 结束 否 更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，则用2约简；若不是则执行第二步.第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数
5、.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或其与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.更相减损术（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数.（2）算法步骤 第一步,输入两个正整数a,b(ab);第二步,若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步,把a-b的差赋予r;第四步,如果br,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步,输出最大公约数b.（3）程序框图 开始输入a，bbr？a=b是
6、输出b结束ab？r=a-b是否b=ra=r否（4）程序 INPUT “a,b=“;a,b WHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END 例1 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,986335 633528 35287 28721 21714 1477 所以，98和63的最大公约数等于7.秦九韶算法的基本思想 对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+
7、x3+x2+x+1，求f(5)的值.若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？4+3+2+1=10次乘法运算，5次加法运算.思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，再将这些数与x和1相加，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？4次乘法运算，5次加法运算.思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x
8、+a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步,计算v1=anx+an-1.第二步,计算v2=v1x+an-2.第三步,计算v3=v2x+an-3.第n步,计算vn=vn-1x+a0.最后的一项是什么？思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多
9、少次加法运算？思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？vk=vk-1x+an-k(k=1，2，n)秦九韶算法的程序设计 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步:输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值.第二步:令v=an，i=n-1.第三步:输入i次项的系数ai.第四步:v=vx+ai，i=i-1.第五步:判断i0是否成立.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.思考2:该算法的程序框图如何表示？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii0？i=n-1i=i-1结束是输出v否思考3:该程序框图对应
10、的程序如何表述？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii0？i=n-1i=i-1结束是输出v否INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i=0 PRINT“i=”;i INPUT“ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 例2 已知一个5次多项式为f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法把多项式改写成如下形式：f(x)=(4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.按照从内到外
11、的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v0=4;v1=45+2=22；v2=225+3.5=113.5；v3=113.55-2.6=564.9；v4=564.95+1.7=2 826.2；v5=2 826.25-0.8=14 130.2.所以f(5)=14 130.2.阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？解：求多项式 f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4在x=a时的值.INPUT“x=”；a n=0 y=0 WHILE n5 y=y+(n+1)*an n=n+1 WEND PRINT y END 1.用辗转相除法求225和135的最大公约数.显然45是90和45的最大公约数，也
12、就是225和135的最大公约数.225=1351+90 135=901+45 90=452 2.利用辗转相除法求两数4 081与20 723的最大公约数.20 723=4 0815+318;4 081=31812+265;318=2651+53;265=535+0.所以4 081与20 723的最大公约数是53.3.用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当 x=5时的值.解:首先将原多项式改写成如下形式:f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式当x=5时的值,即 v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5 v2=v1x
13、-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7=2 677 所以,当x=5时,多项式的值是2 677.1.比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时，计算次数的区别较明显.（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.2.评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.昨天的努力就是今天的收获，今天的努力就是未来的希望.岁月不饶人，不妨现在就行动！
