1、山东省济南市济阳区闻韶中学2021届高三数学12月第一次模拟考试试题（3班）一、单选题（共8题；共16分）1.已知集合Ax|0ax15，集合Bx| 12 x2，若AB，则实数a的值为( ) A.0B. 12C.2D.52.已知i是虚数单位，复数z满足 𝑧(3+4𝑖)=1+𝑖 ，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设函数 𝑓(𝑥)=(12)𝑥7(𝑥0)𝑥,(𝑥0),若𝑓(w
2、886;)𝑏 若 𝑓(𝑥)=2𝑥2 ， 𝑔(𝑥)=𝑥2 ，下列关于函数 𝐹(𝑥)=min𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) 的说法正确的是（ ） A.函数 𝐹(𝑥) 是偶函数B.方程 𝐹(𝑥)=0 有三个解C.函数 𝐹(𝑥) 有4个单调区间D.函数 𝐹(𝑥) 有最大值为1，无最小
3、值11.已知 𝐹1,𝐹2 分别是双曲线 𝐶:𝑥2𝑦2=1 的左右焦点，点 𝑃 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 𝑃𝐹1𝑃𝐹2=0 ，则下列结论正确的是（ ） A.双曲线 𝐶 的渐近线方程为 𝑦=𝑥B.以 𝐹1𝐹2 为直径的圆的方程为 𝑥2+𝑦2=1C.𝐹1 到双曲线的一条渐近线的距离为1D.⼖
4、9;𝑃𝐹1𝐹2 的面积为112.如图，点M是棱长为2的正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中的线段 𝐴1𝐷 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A.存在点M，使 𝐶𝑀/ 平面 𝐴1𝐵𝐶1B.不存在点M满足 𝐶𝑀𝐴𝐷1C.存在点M，使异面直线 &#
5、119862;1𝑀 与 𝐴𝐵 所成的角是60D.二面角 𝐵𝐶1𝐷𝑀 的正弦值为 223三、填空题（共4题；共4分）13.在矩形ABCD中，边ABAD的长分别为21，若MN分别是边BCCD上的点，且满足 |𝐵𝑀|𝐵𝐶|=|𝐶𝑁|𝐶𝐷| ，则 𝐴𝑀𝐴𝑁 的取值范围是_. 14.已知双曲线的焦点到其渐
6、近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_. 15.在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑 𝑀𝐴𝐵𝐶 中, 𝑀𝐴 平面 𝐴𝐵𝐶 , 𝑀𝐴=𝐴𝐵=𝐵𝐶=2 ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_ 16.已知函数f（x）=𝑚,𝑥𝑚𝑥2+
7、4𝑥+2,𝑥𝑚 ， 若函数F（x）=f（x）x只有一个零点，则实数m的取值范围是_ 四、解答题（共6题；共50分）17.𝐴𝐵𝐶 的内角 𝐴 ， 𝐵 ， 𝐶 的对边分别为 𝑎 ， 𝑏 ， 𝑐 ，已知 3𝑏cos𝐶+𝑏sin𝐶=3𝑎 .（）求角 𝐵 的大小；（）若 𝑏=3 ，求 𝛥&
8、#119860;𝐵𝐶 的面积的最大值.18.如图， 𝐴𝐵𝐶𝐷 是棱形， 𝐴𝐵𝐶=60,𝐴𝐶 与 𝐵𝐷 相交于点 𝑂 ，平面 𝐴𝐸𝐹𝐶 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，且 𝐴𝐸𝐹𝐶 是直角梯形， &#
9、119864;𝐴𝐶=90,𝐶𝐹/𝐴𝐸,𝐴𝐸=𝐴𝐵=2,𝐶𝐹=4 . （1）求证： 𝐵𝐷𝐸𝐹 ； （2）求二面角 𝐵𝐷𝐸𝐹 的余弦值. 19.数列 𝑎𝑛 满足 𝑎1=1 ， 𝑛𝑎𝑛+1=
10、(𝑛+1)𝑎𝑛+𝑛(𝑛+1) ， 𝑛𝑁+ . （1）证明：数列 𝑎𝑛𝑛 是等差数列； （2）设 𝑏𝑛=3𝑛𝑎𝑛 ，求数列 𝑏𝑛 的前 𝑛 项和 𝑆𝑛 . 20.某闯关游戏有这样一个环节：该关卡有一道上了锁的门，要想通过该关卡，要拿到门前密码箱里的钥匙，才能开门过关但是密码箱需要一
11、个密码才能打开，并且3次密码尝试错误，该密码箱被锁定，从而闯关失败某人到达该关卡时，已经找到了可能打开密码箱的6个密码（其中只有一个能打开密码箱），他决定从中随机地选择1个密码进行尝试若密码正确，则通关成功；否则继续尝试，直至密码箱被锁定 （1）求这个人闯关失败的概率； （2）设该人尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望 21.已知椭圆 𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0) 经过两点 (0,1),(3,12) . （1）求椭圆 𝐸 的方程； （2）若直线
12、9897;:𝑥𝑦1=0 交椭圆 𝐸 于两个不同的点 𝐴,𝐵,𝑂 是坐标原点，求 𝛥𝐴𝑂𝐵 的面积 𝑆 22.已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥𝑥+1(𝑎𝑅) （1）当 𝑎=2 时，求 𝑓(𝑥)
13、在 (1 ， 𝑓 （1） ) 处的切线方程； （2）当 𝑥1 ， +) 时， 𝑓(𝑥)0 恒成立，求 𝑎 的取值范围 答案解析部分一、单选题1.【答案】 C 2.【答案】 A 3.【答案】 C 4.【答案】 C 5.【答案】 D 6.【答案】 B 7.【答案】 B 8.【答案】A 二、多选题9.【答案】 A,C,D 10.【答案】 A,B,C,D 11.【答案】 A,C,D 12.【答案】 A,D 三、填空题13.【答案】 1，4 14.【答案】 y=2x 15.【答案】 24𝜋82𝜋
14、; 16.【答案】2m1 四、解答题17.【答案】 解：（） 3𝑏cos𝐶+𝑏sin𝐶=3𝑎 ，由正弦定理得， 3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶 =3sin𝐴 . 𝐴+𝐵+𝐶=𝜋 ， 3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶 =3sin(𝐵+𝐶) .即 3sin𝐵
15、cos𝐶+sin𝐵sin𝐶 =3sin𝐵cos𝐶+3cos𝐵sin𝐶 .sin𝐵sin𝐶 =3cos𝐵sin𝐶 sin𝐶0 ， sin𝐵=3cos𝐵 . cos𝐵0 ， tan𝐵=3 . 𝐵(0,𝜋) ， 𝐵=𝜋3 .（） 𝑏=3 ， 𝐵=
16、0587;3 ，由余弦定理得：𝑏2=𝑎2+𝑐22𝑎𝑐cos𝐵=𝑎2+𝑐22𝑎𝑐122𝑎𝑐𝑎𝑐=𝑎𝑐 ，𝑎𝑐3 ，当且仅当 𝑎=𝑐 时取“=” 𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin
17、𝑏12332=334 .即 𝛥𝐴𝐵𝐶 的面积的最大值为 33418.【答案】 （1）证明：在棱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，可得 𝐷𝐵𝐴𝐶 ， 因为平面 𝐴𝐸𝐹𝐶 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，且交线为 𝐴𝐶 ，所以 𝐷𝐵
18、平面 𝐴𝐸𝐹𝐶 ，因为 𝐸𝐹 平面 𝐴𝐸𝐹𝐶 ，所以 𝐵𝐷𝐸𝐹 .（2）解：直角梯形 𝐴𝐸𝐹𝐶 中，由 𝐸𝐴𝐶=90,𝐶𝐹/𝐴𝐸,𝐴𝐸=𝐴⻒
19、1;=2 ，得 𝐸𝐴 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 . 取 𝐸𝐹 的中点 𝑀 ，以 𝑂 为坐标原点，以 𝑂𝐴 为 𝑥 轴， 𝑂𝐵 为 𝑦 轴， 𝑂𝑀 为 𝑧 轴，建立空间直角坐标系，则 𝐵(0,3,0),𝐷(0,3,0),𝐸(1,0,2),𝐹(1
20、,0,4) .所以 𝐷𝐵=(0,23,0),𝐷𝐸=(1,3,2) .设平面 𝐵𝐷𝐸 的法向量 𝑛1=𝑥,𝑦,𝑧 ，由 𝑛1𝐷𝐵=23𝑦=0𝑛1𝐷𝐸=𝑥+3𝑦+2𝑧=0 ，可取 𝑛1=(2,0,1) 由 𝐷𝐹=(1,3
21、,4) .设平面 𝐷𝐸𝐹 的法向量为 𝑛2=(𝑢,𝑣,𝑤) ，同上得，可取 𝑛2=(1,3,1) .则 cos𝑛1,𝑛2=155=15 ，即二面角 𝐵𝐷𝐸𝐹 的余弦值为 15 .19.【答案】 （1）证明：由已知可得 𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛+1 ，即 𝑎w
22、899;+1𝑛+1𝑎𝑛𝑛=1所以 𝑎𝑛𝑛 是以 𝑎11=1 为首项，1为公差的等差数列（2）解：由（1）得 𝑎𝑛𝑛=1+(𝑛1)1=𝑛 ，所以 𝑎𝑛=𝑛2 ，从而 𝑏𝑛=𝑛3𝑛𝑆𝑛=131+232+333+𝑛3𝑛3&
23、#119878;𝑛=132+233+334+（𝑛-1）3𝑛+𝑛3𝑛+1得： 2𝑆𝑛=3+32+33+3𝑛𝑛3𝑛+1= 3(13𝑛)13𝑛3𝑛+1所以 𝑆𝑛=(2𝑛1)3𝑛+1+3420.【答案】 （1）解：设“密码箱被锁定”的事件为A 则 𝑃(𝐴)=543654=12（2）解：依题意，X的可能取
24、值为1，2，3， 则 𝑃(𝑋)=16 ，𝑃(𝑋=2)=5165=16 ，𝑃(𝑋=3)=54651=23 ，所以分布列为：X123p161623所以： 𝐸(𝑋)=116+216+323=5221.【答案】 （1）解：由题意得: 𝑏2=13𝑎2+14𝑏2=1 , 解得: 𝑎=2,𝑏=1 即轨迹E的方程为 𝑥24+𝑦2=1 .（2）解：记A(x1 ， y1)，B(
25、x2 ， y2)， 故可设AB的方程为xy1.由 𝑥2+4𝑦2=4𝑥=𝑦+1 消去x得5y22y30，所以 𝑦1=1,𝑦2=35 设直线 𝑙 与 𝑥 轴交于点 𝑃(1,0) S 12 |OP|y1y2|S 45 .22.【答案】 （1）解： 𝑎=2 时， 𝑓(𝑥)=2𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥𝑥+1 ， ⻕
26、1;(𝑥)=2(2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥+2𝑥+1 ，故 𝑓 （1） =0 ， 𝑓 （1） =3 ，故切线方程是： 𝑦=3(𝑥1) ，即 3𝑥𝑦3=0 （2）解：当 𝑥1 ， +) 时， 𝑓(𝑥)0 恒成立， 即 𝑎𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥𝑥1 ，⻖
27、9;=1 时，显然成立，𝑥1 时，只需 𝑎𝑥1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥 在 (1,+) 恒成立，令 (𝑥)=𝑥1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥 ， (𝑥1) ，则 (𝑥)=(𝑥2+2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥𝑥2+1(𝑥2+𝑥)2
28、𝑙𝑛2𝑥 ，令 𝑚(𝑥)=(𝑥2+2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥𝑥2+1 ， (𝑥1) ，则 𝑚(𝑥)=2(1𝑥)𝑙𝑛𝑥3𝑥+2+1𝑥0 ，故 𝑚(𝑥) 在 (1,+) 递减，故 𝑚(𝑥)𝑚 （1） =0 ，故 (𝑥)0 在 (1,+) 恒成立，故 (𝑥) 在 (1,+) 递减，而 lim𝑥1𝑥1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥=lim𝑥11(2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥+𝑥+1=12 ，故 𝑎12
