1、基础诊断考点突破第4讲 数列求和基础诊断考点突破最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法基础诊断考点突破知 识 梳 理1求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式Sn na1an 2 na1 nn12d.等比数列的前 n 项和公式()当 q1 时，Snna1；()当 q1 时，Sn a11qn1q a1anq 1q .基础诊断考点突破(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写
2、和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广基础诊断考点突破(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.基础诊断考点突破2常见的裂项公式(1)1nn11n 1n1.(2)12n12n11212n112n1.(3)1n n1 n1 n.基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT
3、展示(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n2112(1n1 1n1)()(3)求 Sna2a23a3nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)若数列 a1，a2a1，anan1 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an3n12.()基础诊断考点突破解析(3)要分 a0 或 a1 或 a0 且 a1 讨论求解答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2等差数列an中，已知公差 d12，且 a1a3a9950，则a2a4a100()A50 B75 C100 D12
4、5解析 a2a4a100(a1d)(a3d)(a99d)(a1a3a99)50d50501275.答案 B基础诊断考点突破3若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的前 n 项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2解析 Sn212n12 n12n122n12n2.答案 C基础诊断考点突破4(教材改编)一个球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10 次着地时，经过的路程是()A100200(129)B100100(129)C200(129)D100(129)解析 第 10 次着地时，经过的路程为 1002(50251002
5、 9)100 2100(2 1 2 2 2 9)100 20021129121100200(129)答案 A基础诊断考点突破5(教材改编)12x3x2nxn1_(x0 且 x1)解析 设 Sn12x3x2nxn1，则 xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxn1xn1x nxn，Sn 1xn1x2 nxn1x.答案 1xn1x2 nxn1x基础诊断考点突破考点一 分组转化法求和 【例 1】(2016天津卷)已知an是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN)，且 1a1 1a2 2a3，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的 nN，bn 是 log2an 和 lo
6、g2an1 的等差中项，求数列(1)nb2n的前 2n 项和解(1)设数列an的公比为 q.由已知，有 1a1 1a1q 2a1q2，解得 q2 或 q1.基础诊断考点突破又由 S6a11q61q 63，知 q1，所以 a112612 63，得 a11.所以 an2n1.(2)由题意，得 bn12(log2anlog2an1)12(log22n1log22n)n12，即bn是首项为12，公差为 1 的等差数列设数列(1)nb2n的前 n 项和为 Tn，则T2n(b21b22)(b23b24)(b22n1b22n)b1b2b3b4b2n1b2n2nb1b2n22n2.基础诊断考点突破规律方法(1
7、)若数列cn的通项公式为 cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前 n 项和(2)若数列cn的通项公式为 cnan，n为奇数，bn，n为偶数，其中数列an，bn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和基础诊断考点突破【训练 1】(1)数列 112，314，518，7 116，(2n1)12n，的前 n项和 Sn 的值等于()An21 12nB2n2n1 12nCn21 12n1Dn2n112n(2)(2017九江模拟)数列an的通项公式 anncosn2，其前 n 项和为 Sn，则 S2 016 等于()A1 008 B2 016 C504
8、D0基础诊断考点突破解析(1)该数列的通项公式为 an(2n1)12n，则 Sn135(2n1)12 122 12n n2112n.(2)a1cos 20，a22 cos 2，a30，a44，.所以数列an的所有奇数项为 0，前 2 016 项的所有偶数项(共 1 008 项)依次为2,4，6,8，2 014,2 016.故 S2 0160(24)(68)(2 0142 016)1 008.答案(1)A(2)A基础诊断考点突破考点二 裂项相消法求和【例 2】(2015全国卷)Sn 为数列an的前 n 项和已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求
9、数列bn的前 n 项和解(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.可得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)基础诊断考点突破由于 an0，可得 an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)由 an2n1 可知bn1anan112n12n31212n112n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb1b2bn121315 1517 12n112n3n32n3.基础诊断考点突破规律方法(1)利用裂项相消
10、法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等基础诊断考点突破【训练 2】设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，已知 S3a7，a82a33.(1)求 an；(2)设 bn 1Sn，求数列bn的前 n 项和为 Tn.解(1)设数列an的公差为 d，由题意得3a13da16d，a17d2a12d3，解得 a13，d2，ana1(n1)d2n1.基础诊断考点突破(2)由(1)得 Snna1nn12dn(n2)，bn1nn2121n 1n2.Tnb1b2bn1bn12
11、113 1214 1n1 1n1 1n 1n212112 1n1 1n234121n1 1n2.基础诊断考点突破考点三 错位相减法求和【例 3】(2016山东卷)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cnan1n1bn2n.求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5.当 n1 时，a1S111，符合上式所以 an6n5.基础诊断考点突破设数列bn的公差为 d，由a1b1b2，a2b2b3，即112b1d，172b13d，可解得 b14，d3.所以 bn3n1.(2)由(1)
12、知，cn6n6n13n3n 3(n1)2n1.又 Tnc1c2cn.得 Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2基础诊断考点突破两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n234412n12 n12n2 3n2n2.所以 Tn3n2n2.规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式基础诊断考点突破【训练 3】已知an是递增的等差数
13、列，a2，a4 是方程 x25x60 的根(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n 的前 n 项和解(1)方程 x25x60 的两根为 2,3，由题意得 a22，a43.设数列an的公差为 d，则 a4a22d，故 d12，从而 a132.所以an的通项公式为 an12n1.基础诊断考点突破(2)设an2n 的前 n 项和为 Sn，由(1)知an2nn22n1，则 Sn 322 423n12n n22n1，12Sn 323 424n12n1 n22n2.两式相减得12Sn34123 12n1 n22n2 34141 12n1 n22n2.所以 Sn2n42n1.基础诊断考点突破思想方法非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和基础诊断考点突破易错防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论2在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.