1、高考资源网（） 您身边的高考专家高 二 数 学（第30讲）主讲教师：吴 芳（苏州中学）【教学内容】第十章 排列 组合 和概率 概率1（随机事件等可能概型）要求：1、了解随机事件及随机事件概率的意义； 2、了解等可能概型，会用排列、组合的基本公式计算等可能概型的概率问题。【学习指导】1、随机事件的理解（1）事件与试验事件是由条件与结果两部分构成的。 将事件的条件每实现一次，叫做一次试验。如果试验的结果与某事件的结果一致，则称该事件发生（反之，则称该事件不发生）。（2）随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件。2、概率的定义及性质（1）定义（统计定义，参见书）。其它的定义还有“
2、几何定义”“公理化定义”。（2）基本性质 10、任何事件A的概率 P(A)满足0P(A)1 20、P(A)=1A为必然事件 P(A)=0A为不可能事件3、等可能概型（古典概型）（1）定义（参见书），课本中研究的绝大多数概率问题都是古典概型。（2）随机事件（在一次试验中）的每一个可能出现的结果，称为基本事件。 所有基本事件的全体，叫做样本空间，用表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则=正面，反面。（3）作为等可能概型，样本空间中的元素个数是有限的，即=1，2，n则card()=n。（4）若事件A由m个基本事件组成即A=i1，i2，i3im，则card（A）=m若中每一个I（I=1,2,n）都是等
3、可能发生的，则P(A)=(注：显然A)【典型例题分析】例1、抽检一批衬衣，结果如下：抽取件数50100200500600700800次品件数271526354547次品频率（1）完成上面的统计表（2）设事件A为“任取一件衬衣，是次品”，试求P(A)的近似值（3）为了使买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进多少件？解：（1）次品频率依次为0.04，0.07，0.075，0.052，0.058，0.064，0.059。 （2）P（A）即次品率，从频率表中得知：当n（抽取件数）充分大时，出现次品的频率在0.06附近摆动，P(A)0.06 （3）设进货衬衣为x件，则应有x(1-0.0
4、6)1000 x，x1064即：至少进1064件衬衣。回顾：课本给出的概率定义是概率的统计定义，因此要注意频率与概率的关系：1、在试验中，某事件发生频率是依赖于n的变量，当n变化时，频率也变化；2、在一次试验中，某事件发生的概率是一个常数，通常当试验的次数充分多时，频率会接近于概率，当试验的次数为无穷多次时（当然这不可能），频率会等于概率。例2、在一个口袋中，有十个大小相同的球，编号依次为1到10，从中任取一个球。（1）取到5好球的概率。（2）取到号码为奇数的概率解：（1）所做的试验为“从装有10个球的口袋里任取一个球”，其可能出现的所有可能的结果与10个，即共有10个基本事件。=1，2，3，
5、10，其中1=i对应的基本事件为“取出小球的号码为i”记事件A为“取到5号球”即A=5n=card()=10 m=card(A)=1P(A)=（2）记事件B为“取到的球号码为奇数，即B=1，3，5，7，9n=card()=10 m=card(B)=5P(B)=回顾：1、等可能概型的概率公式P(A)=，与概率定义中所述的频率值为是不同的概念。其对比如下：概率的统计定义中频率等可能概型中P(A)= n试验进行的次数（进行了n次数）一次试验中所有可能的结果有n个m进行n次试验中，事件发生的次数事件A可能的结果数2、题（2）的另解：记B为“取到的球号为奇数”，则为“取到的球号为偶数”记样本空间=B,
6、，则P(B)=（取到的求号不是奇数就是偶数）例3、有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。（1）两次抽到的都是正品；（2）抽到的恰有一件为次品；（3）第1次抽到正品，第2次抽到次品。解：记=从10件产品中任抽2件则n=card()=C（1）记A=从10件产品中抽2件，都是正品，则m=card(A)=C（2）记B=从10件产品中抽2件，一件为正品，一件为次品，则m=card(B)=（3）初看本题与题（2）是相同的，其实不然，题（2）包含于两种可能，“第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而目前求的是其中之一“第一次正品，第二次次品
7、”的概率。（法一）由于事件B中包含“第一次正品，第2次次品”和“第一次次品第2次正品”两种等可能的情况，所求事件的概率。（法二）记=从10件产品中，任取一件，（放入甲袋中），再从剩下9件产品中任取一件，（放入乙袋中）记C=第一次取出的是正品，第二次取出的是次品=甲袋中为正品，乙袋中为次品card()=，card(C)=回顾：请注意题（3）的两种解法，一种是将试验（抽取2件产品）看作是组合（无序的），一种是将试验看作为排列（有序的），值得注意的是两种解法的样本空间不同，事件C不属于样本空间，（C）因此不能用card()进行计算。发展题：将上题中的“抽检后不放回”，改为“抽检后放回”其余不变。例4
8、、某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开。问恰好第3次打开房门锁的概率是多少分析与解：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开门，故每一次可以打开门的概率是相同的都是。（法一）记=开5次门的所有可能性 card()=记A=第三次打开门 card(A)= 注意所谓第三次打开门，即房门钥匙放在3号位置上，那么另外4把钥匙有其余4个位置安排，故为种可能。（法二）记=开3次门的所有可能性 card()=记A=第三次打开门 card(A)= 不难理解，房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则第2个位置是用另4把钥匙安排的，故为种可能。回顾：本例是为了说明样本空间
9、的选取会影响到解答的过程。因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤判断该问题是等可能概型确定样本空间（即试验的方法，试验的结果将影响样本空间）；用排列组合问题的解法确定card() 与card(A)，则【同步练习】1、从5名学生中选出3人作代表，其中某甲被选中的概率为。2、有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙，则从4把钥匙中任取2把，能打开甲、乙两把锁的概率为。3、将10本不同的书排在书架上（同一层），其中指定的3本书恰好放在一起的概率为。4、从1，2，3，4，7中任选4个不同的数字填入等式 = 中的空格，能使等式成立的概率为。5、从所有的三位正整数中任取一个数，它既是2的倍数又是5的倍数的概率为
10、 。6、有8名选手参加乒乓球单循环比赛，则其中甲、乙两人在第一轮相遇的概率是多少？（设第一轮比赛由8人抽签决定）7、一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球（1）共有多少种结果？（2）摸出2个黑球有多少种结果？（3）求摸出2个黑球的概率？（4）求摸出一只黑球一只白球的概率？（5）求摸出至少一只黑球的概率？8、有5张卡片，分别写有1，2，3，4，5五个数字（1）从中任抽2张，2张卡片上两数之和为奇数的概率是多少？（2）从中任抽2张，2张卡片上两数之和为偶数的概率是多少？9、从1，2，3，4，5这5个数字中任选不同的3个数组成一个三位数所组成的三位数大于500的概率是多少？10某甲参加口试
11、，已知共有21个问题，某甲会答其中的8个问题，口试抽签后不放回，某甲第11个参加口试，求其通过这次口试的概率？11、某班级共有40人，准备分乘两辆车外出，每车20人，其中小明与小强同坐一辆车的概率是多少？【参考答案】1、 法一：某甲被选中，则；法二：每个人被选中的概率都是。2、 给钥匙编号，甲锁的两把：A1,A2，乙锁的两把B1,B2选出的2把中，只要有A，有B就可以了。3、 card()= card(A)=（指定的三本书放在一起，看作一个元素） 4、 注意到只有3个算式可以满足：34=12，27=14，37=21，但注意到乘法满足交换律，故5、 三位数共有900个（从100到999）其中既被
12、2整除又被5整除即为被10整除，这样的数只有90个，6、解：（法一）单循环比赛，即比赛的双方只比一次，在每一轮中，某甲只和另7位选手中的一位相遇，则在第一轮中，甲、乙相遇的概率为（其中=另7位选手中的一位，A=从7人中选一人，是乙） （法二）第一轮所有可能的对阵总数为种，记为n，甲、乙在第一轮的某场相遇，则可能性为种，记为m，则7、解（1）共有n=种结果（card()=10） （2）都摸出黑球种结果 （3）记A=两次都摸黑球， （4）记B=一次摸黑球，一次摸白球， （5）记C=至少一只黑球 则=两只都是白球，8、解（1）记=任取2张，则n=card()= 记A=数字之和为奇数=一张偶数，一张奇数m=card(A)=P(A)= （2）记B=数字之和为偶数=两张偶数成两张奇数m=card(B)=9、解：1，2，3，4，5任取3个数组成3位数共有个，其中比500大的共有个（首位必为5）10、解：假设口试到某甲为止，则 记A=甲抽到会答的问题，（前10个人从剩下20张签中抽取）11、解：小明与小强同在（两部车选一部），（从剩下38人中选18人与小明、小强同车，余下20人坐另一辆车）而总的分法有种故小明与小强同车的概率为。- 9 - 版权所有高考资源网