1、 考纲解读 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角公式不要求记忆)考向预测 1灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容 2以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题 3多以解答题的形式呈现，属中、低档题 知识梳理 1二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2：sin2；C2：cos2；T2：tan22sincoscos2sin212sin22cos21 2半角公式 3升、降幂公式主要用于化简、求值和证
2、明 其形式为：升幂公式1cos2，1cos2.2cos22sin2 基础自测 1(2011新乡模拟)函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为()A3,1 B2,2 答案 CC3，32D2，32解析 f(x)12sin2x2sinx2sinx12232，sinx12时，f(x)max32，sinx1 时，f(x)min3，故选 C.答案 B 解析 本题主要考查二倍角公式2(2010福建文)计算 12sin222.5的结果等于()A.12B.22C.33D.3212sin2225cos45 22.3(2010江西理)E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF()、答案
3、 DA.1627B.23C.33D.34解析 如图，设 CBAC1，则 AB 2，又取 AB的中点为 H，连 CH，则 CH AB，由题意知 EH 26，CH 22，得 tanECH13.故 tanECFtan2ECH34，选 D.答案 C4.3sin702cos210()A.12B.22C2 D.32解析 原式3sin7021cos2023sin703cos20223sin703sin702，故选 C.答案 5(2010浙江理)函数 f(x)sin(2x4)2 2sin2x 的最小正周期是_解析 f(x)sin(2x4)2 2sin2xsin(2x4)2(1cos2x)sin(2x4)2co
4、s2x 2sin2xcos4cos2xsin4 2cos2x 2 22 sin2x 22 cos2x 2sin(2x4)2，所以 T222.6化简 2cos2sin21的结果是_答案 3cos1解析 原式 22cos211sin21 2cos211sin21 3cos21 3cos1.7已知函数f(x)cos4x2sinxcosxsin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值、最小值 解析(1)f(x)cos4xsin4x2sinxcosx(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2x 2cos2x4，f(x)的最小正周期 T22.(2)当
5、cos2x4 1 时，f(x)max 2；当 cos2x4 1 时，f(x)min 2.分析观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等例 1 化简：sin2sin2cos2cos212cos2cos2.解析解法 1：(从“角”入手，复角化单角)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21211212.解法 2：(
6、从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212cos2cos2cos2sin2(cos2sin2)12cos2cos2cos2cos2sin212cos21cos22cos2sin21212sin21cos2212cos212.解法 3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos221cos221cos221cos2212cos2cos2 14(1 cos2cos2 cos2 cos2)14(1 cos2cos2cos2cos2)12cos2cos2141412.点评 对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一对于三角函数式化简的目标
7、是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少 分析 构造运用二倍角公式，由诱导公式、恒等式求解计算：cos27 cos47 cos67.解析 cos27 cos47 cos672sin27 cos27 cos47 cos672sin27sin47 cos47 cos672sin27sin87 cos674sin27sin7 cos74sin27sin278sin2718.例 2(1)求证34cos2Acos4A34cos2Acos4Atan4A.(2)已知：sinmsin(2)，其中 m0,2k(kZ)求证：tan()1m1mtan(m1)分析 对
8、(1)容易看出，左边较右边复杂，因此应从左边入手，化4A为2A，再化2A为A，然后将弦化为切(2)是一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为与的函数，而已知是与2的函数，将，2用，表示是解决本题的正确方向 等式成立(2)由()，2()得 sin()msin()，即sin()coscos()sin msin()coscos()sin，即(1m)sin()cos(1m)cos()sin.解析(1)左边34cos2A2cos22A134cos2A2cos22A11cos2A1cos2A22sin2A2cos2A2tan4A右边求证：cos21tan2tan214sin
9、2.证明 左边 cos21tan22tan2tan21tan22cos212tancos212sincoscos212sincos14sin2右边所以原等式得证.例 3(2010浙江文)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，满足 S 34(a2b2c2)(1)求角 C 的大小；(2)求 sinAsinB 的最大值 分析 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查了三角运算能力解析(1)由题意可知，12absinC 34 2abcosC，tanC 3，又0C0)解析 (1)f(x)32 sinx12cosx32 sinx12co
10、sx(cosx1)232 sinx12cosx 12sinx6 1.由1sinx6 1，得32sinx6 11.可知函数 f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，yf(x)的周期为，又由 0，得2.即得 2.于是有 f(x)2sin2x6 1，再由 2k22x62k2(kZ)，解得 k6xk3(kZ)所以 yf(x)的单调增区间为k6，k3(kZ)1三角函数式的化简(1)化简的要求 能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的思路 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思
11、路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法(3)化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等 2三角恒等式的证明 证明三角恒等式的方法：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等 证明三角条件等式的方法 首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等等3辅助角公式asinbcos a2b2sin()，其中 cosaa2b2sinba2b2tanba.的终边所在的象限由 a，b 的符号来确定，角 称为辅助角