1、 考纲解读 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 考向预测 1平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题 2数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查重点关注数形结合思想的应用 知识梳理 1两个向量的夹角(1)定义 已知两个向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角非零(2)范围 向量夹角的范围是，a与b同向时，夹
2、角；a与b反向时，夹角.(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作.0，090|a|b|cosab|a|b|cos 规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.(2)向量的投影 定义：设为a与b的夹角，则(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影(3)平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的射影的乘积0ab0ab|a|b|a|cos|b|cos 3平面向量数量积的重
3、要性质(1)eaae；(2)非零向量a，b，ab；(3)当a与b同向时，ab，当a与b反向时，ab，aa，|a|(4)cos(5)|ab|a|b|.|a|cosab0|a|b|a|b|a2aaab|a|b|4平面向量数量积满足的运算律(1)ab(交换律)；(2)(a)b(为实数)；(3)(ab)c.ba(ab)a(b)acbc基础自测1(2010安徽)设向量 a(1,0)，b(12，12)，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab 22Cab 与 b 垂直Dab 答案 C解析 ab(12，12)(ab)b(12，12)(12，12)0.即 ab 与 b 垂直，故选 C.答案 C 解析 本题考
4、查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算，在解决问题时需要先设出向量坐标，然后求得参数，该题较为简单2(2010新课标)a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A.865B 865C.1665D1665由题可知，设 b(x，y)，则 2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得 x5，y12，故 b(5,12)，所以 cosa，b ab|a|b|1665，故选 C.3已知下列各式：a2|a|2 aba2 ba(ab)2a2b2(ab)2a22abb2其中正确的有_个()A1 B2C3 D4 答案 B解析 正确错，aba2|a|b|cos|a
5、|2|b|cos|a|，错错正确，选 B.4已知两单位向量a，b的夹角为60，则两向量p2ab与q3a2b的夹角为()A60 B120 C30 D150 答案 B 分析 本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法解析 pq(2ab)(3a2b)6a2ab2b26a2|a|b|cos602b272，|p|2ab|2ab2 4a24abb2 4a24|a|b|cos60b2 7，|q|3a2b|3a2b2 9a212ab4b2 9a212|a|b|cos604b2 7，而 cosp，q pq|p|q|12.即 p 与 q 的夹角为 120.5(2010江西文)已知向量a，b
6、满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是_ 答案 1解析 本题考查了向量的投影问题，lba|a|b|cos601，属概念性考查6(08天津)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC(1,2)，BD(3,2)，则AD AC_.答案 3解析 AD 12(ACBD)(1,2)，AD AC143.7已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，求实数的取值范围解析 设 a 与 b 的夹角为，则 0，2，ab0 且 a，b 不同向由 ab0，得|i|22|j|20 得 0)，得 2.的取值范围为 0，|ab|2cosx.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2
7、cosx12cosx12232.x3，4，12cosx1，当 cosx12时，f(x)取得最小值32；当 cosx1 时，f(x)取得最大值1.点评 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.例2 已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?分析(1)利用公式|a|a2和|ab|ab2求解；(2)利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k.解析 由已知，ab4812 16.(1
8、)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4 3.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)4643162，|4a2b|16 3.(2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，k7.点评 1.当a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明ab0 x1x2y1y20.2当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明ab0.已知向量 m(1,1)，向量 n 与向量 m 的夹角为34，且mn1.(1)求向量 n；(2)设向量
9、a(1,0)，向量 bcosx，2cos23x2，若na0，试求|nb|的取值范围解析(1)设 n(x，y)，由已知得xy1，12 x2y2cos34，即xy1，x2y21，解得x1，y0或x0，y1，n(1,0)或(0，1)(2)a(1,0)，na0，n(0，1)，nbcosx，2cos23x2 1cosx，cos23 x，故|nb|2cos2xcos223 x1cos2x21cos43 2x2112cos2xcos43 2x112cos2xcos32x112cos2x12cos2x 32 sin2x11212cos2x 32 sin2x112cos2x3，12|nb|232，故 22|nb
10、|62.例3 已知a，b都是非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角分析 由公式 cos ab|a|b|可知，求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积本题中|a|b|ab|的充分利用是求数量积的关键，考虑怎样对条件进行转化解析 方法一：由|a|b|ab|得|a|2|b|2，|b|2a22abb2，所以 ab12a2.而|ab|2|a|22ab|b|22|a|2212|a|23|a|2，所以|ab|3|a|.设 a 与 ab 的夹角为，则cosaab|a|ab|a212a23|a|2 32，由于 0180，所以 30.方法二：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由|a|b|ab|得，|a
11、|2|b|2，|ab|2a22abb2，所以 x12y12x22y22x12y12x22y222x1x22y1y2，即 x1x2y1y212(x12y12)，所以|ab|2(x1x2)2(y1y2)2x12y12x22y222x1x22y1y23(x12y12)，故|ab|3 x12y12.设 a 与 ab 的夹角为，则 cosaab|a|ab|x12y1212x12y12x12y12 3 x12y12 32，由于 0180，所以 30.点评 1.求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小
12、于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角 2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系3若已知 a 与 b 的坐标，则可直接利用公式cosx1x2y1y2x12y12 x22y22来求夹角(2009全国卷)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150 B120 C60 D30 答案 B 解析 本题主要考查向量运算的几何意义|a|b|c|0，且abc 如图所示就是符合的向量，易知OACB是菱形，OBC和OAC都是等边三角形a，b120.例 4 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点为 F1、F2，椭圆上一点 M2 63，3
13、3 满足MF1 MF2 0.(1)求椭圆的方程；(2)若直线 L：ykx 2与椭圆恒有两个不同交点 A、B，且OA OB 1(O 为坐标原点)，求 k 的范围解析(1)F1(c,0)、F2(c,0)，则MF1 c2 63，33，MF2 c2 63，33，由MF1 MF2 0，得 c23，a2b23(1)M 在椭圆上，83a2 13b21 与(1)联立解得a24b21，椭圆方程为x24y21.(2)将 ykx 2代入x24y21 中得14k2 x22 2kx10，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则OA OB x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2)64k214k21，k20，
14、k214，14k258，104 k12或12k 104.(2010厦门二模)设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF1 PF2 0，则e12e22e1e22 的值为()A.12B1 C2 D不确定 答案 C 解析 设a1为椭圆的长半轴长，a2为双曲线的实半轴长，当P点在双曲线的右支上时，由题意得，|PF1|PF2|2a1|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，由PF1 PF2 0 得PF1 PF2，即 PF1PF2，(a1a2)2(a1a2)24c2，a12a222c2，a12c2 a22c2 2，
15、而e12e22e1e22 ca12ca22c2a1a22a12c2 a22c2 2，当 P 点在双曲线的左支上时，解法同上故选 C.1两个向量的数量积(1)数量积概念的理解 两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件 两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”b在a上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于0.(2)对数量积运算律的理解 当a0时，由ab0不一定推出b0，这是因为
16、对任一个与a垂直的向量b，都有ab0.当a0时，abac也不一定推出bc，因为由abac，得a(bc)0，即a与(bc)垂直也就是向量的数量积运算不满足消去律 对于实数a，b，c，有(ab)ca(bc)，但对于向量来说，(ab)c与a(bc)不一定相等，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)c与a(bc)不一定相等 2向量的应用(1)向量在几何中的应用 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 ababx1y2x2y10(b0)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0 x1x2y1y20.求夹角问题 利用夹角公式：cos ab|a|b|x1x2y1y2x12y12 x22y22.求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|aa x2y2或|AB|AB|x2x12y2y12.(2)向量在物理中的应用 向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；向量在速度的分解与合成中的应用