1、专题一二平衡(一 二) 综合评述1、所谓平衡状态，是指物体的静止和匀速直线运动状态。 2、从受力情况看，当物体不受外力或所受外力的合力为零时，就处于原来的静止或匀速直线运动状态牛顿第一运动定律。 3、本专题研究的问题将涉及在中学物理中学习过的各种性质的力：重力、弹力、摩擦力、万有引力、液体气体压力、电场力、磁场力（安培力和洛仑兹力）等。4、在研究方法上，将综合运用整体法与隔离体法，在矢量运算中将灵活运用平行四边形法则与正交分解法。这些基本方法不仅在研究其它各种运动状态时都要用到，而且适用于研究各种不同类型的矢量（如电场强度、磁感强度）问题。所以，这些基本方法都是必须熟练掌握的。5、平衡状态的核
2、心问题是分析物体的受力情况，正确作出物体的受力图，关键是对各种性质的力要有充分的认识，要能把握力的特性。6、平衡状态的问题虽然不是高考内容的重点，但在高考试卷中却是无所不在，既有独立的选择题和填空题，还有独立综合能力考查的计算题。 高考视角平衡类问题，不仅考查物体的受力分析，而且考查对力的处理方法。主要以选择题的形式在高考中年年出现，也有与其他知识综合出现。主要考查的知识点是：重力、弹力、摩擦力的产生条件及在力的三要素的基础上对物体进行正确的受力分析，进行正交分解，根据共点力的平衡条件和力矩的平衡条件列方程求解。 其中摩擦力，力的合成与分解是考查的热点，尤其是三个共点力的平衡问题。试题有一定的
3、难度，且命题形式多样。为了抓住本部分的高考知识点，必须熟练灵活地掌握本部分知识的基本概念和基本技能及方法。另外与其他知识的综合平衡问题，如在研究气体问题时，大多数情况下气体和封闭气体的活塞、液柱都处于平衡状态，电场力作用下带电粒子的平衡、安培力作用下物体的平衡等，也是考查的重点。 范例精析 例1：如图l8所示，C是水平地面，A、B是两个长方形物块，F是作用在物体B上沿水平方向的力，物体A和B以相同的速度做匀速直线运动。由此可见，A、B间的动摩擦因数1和B、C间的动摩擦因数2有可能是 ( ) A、10 20 B、10 20 C、10 20 D、10 20 思维过程思路一：分析物体受力。按受力分析
4、的一般步骤进行，先从受力最简单的A物块入手，并只着眼于运动方向的受力情况。同时，严格区分静摩擦力和滑动摩擦力，注意题中要判断动摩擦因数存在的可能性，静摩擦力为零，动摩擦因数可以是零，也可以不是零。解析一：从分析物块A的受力情况人手，物块A做水平匀速直线运动，所受合外力应为零，竖直方向受力平衡，而在水平方向上不可能受静摩擦力作用，否则物块A将不随B物块做匀速直线运动。本题要求判断动摩擦因数，动摩擦因数1为零与否都可以使静摩擦力为零，物块B竖直方向受力平衡，水平方向受力平衡必有一个与F等大反向的滑动摩擦力存在，可见20。所以B、D正确。 思路二：分析物体受力。接受力分析一般步骤进行，只着眼于运动方
5、向的受力情况。先以A、B及整体为对象受力分析，再依次以B、A为对象受力分析，然后得出正确答案。 解析二：由于A和B以相同的速度做匀速直线运动，可以把它们看做是一个物体，对它们进行受力分析，竖直方向受力平衡，水平方向受力平衡必有一个与F等大反向的滑动摩擦力存在，有20对物块B受力分析，竖直方向受力平衡，水平方向受F和地面提供的滑动摩擦力作用也恰好平衡，所以，不可能再受到A对B的静摩擦力，此时，1为零与否都可以使静摩擦力为零。所以B、D正确。 解析三：首先，以A为对象受力分析，竖直方向受力平衡，水平方向不可能受静摩擦力作用，否则物块A将不随B物块做匀速直线运动此时动摩擦因数1为零与否都可以使静摩擦
6、力为零。再以A和B整体为对象受力分析，竖直方向受力平衡，水平方向受力平衡，必有一个与F等大反向的滑动摩擦力存在，得出20，故选项B、D正确 误区点拨 从以上的思路分析可以看出，本题的三种解法是等同的，平时做题只要任选一种就行本题容易出现错解：若以为A、B间静摩擦力为零，A、B间动摩擦因数为零时，会漏选D；若认为A、B一起做匀速直线运动，是B带动的，A、B间有摩擦力，且动摩擦因数1不为零，而能分析出20，会漏选B；若不能确认B、C间有滑动摩擦力存在，则可能选A项或C项。 思维迁移 解决本类问题的方法是整体法、隔离法、假设法和平衡条件法，解题的关键是抓住静摩擦力、滑动摩擦力和动摩擦因数概念以及物体
7、处于平衡状态情况下的受力分析方法。 变式题1如图19所示，甲、乙两物体叠放在水平面上，用水平力拉物体乙，它仍保持静止状态，甲、乙间接触面也为水平，则乙物体受力的个数为 ( ) A3个 B4个 C5个 D6个 答案：C2A、B、C三物块质量分别为M、m和m0，作如图110所示的连结，绳子不可伸长，且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计，若B随A一起沿水平桌面做匀速运动，则可以断定 A、物块A与桌面之间有摩擦力，大小为m0g B、物块A与B之间有摩擦力，大小为m0g C、桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相同，合力为m0g D、桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相反，合力为m0g答案：A。
8、 例2：如图112所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，而将绳子BC逐渐变到沿水平方向，在这过程中，绳子BC的拉力变化情况是( ) A逐渐增大 B先逐渐减小，后逐渐增大 C逐渐减小 D先逐渐增大，后逐渐减小 思维过程 思路一：根据力的作用效果可知，重物对B点的拉力FB产生两个效果：使AB绳、BC绳拉紧可将FB沿AB、BC方向分解成FAB、FBC两个力，如图113所示FBmg，大小、方向不变，FAB方向不变，FBC方向、大小都在变化，即合力不变，其中一个分力的方向不变，则可利用平形四边行定则定性画出FAB、FBC的变化情况
9、解析一：将FB分解为FAB、FBC，如图113所示，当FBC绳缓慢向下移动时，利用平行四边形定则可知，FBC的“箭尾”都在FBC、FB开始时“箭尾”的连线上，对应的FBC有FAB，即可画出多个FBC对应的FAB，如图所示由图易知，FAB逐渐增大，FBC先减小后增大，所以选项B正确。 思路二：分析B点的受力情况，建立力的关系方程，由方程求出力的表达表，讨论力随夹角变化的情况。 解法二：解析法。B点受FAB、FBC、FB三个力作用，如图114甲所示由于绳AB与水平方向夹角不变，故B点不动，设BC与竖直方向夹角为，FB是FAB、FBC的合力，与FB组成一对平衡力，而FB在数值上等于mg。将FAB移至
10、FBC首尾相接，如图114乙所示，在此三角形中，由正弦定理有 将FBmg代入可得 由图可知，由30向90变化。 讨论：(1)当60时，FBC有最小值为；(2)当3060时，FBC；(3)当6090时，FBC。可知：绳子从BC变到BC的过程中，BC绳的拉力是先逐渐变小后逐渐变大，故B正确。 思路三：分析B点的受力情况，由平衡条件建立力的几何关系矢量图，由矢量图讨论力的变化情况。 解析三：矢量图解法在FAB、FBC，FB组成的封闭三角形中，FB不变，恒为mg，FAB的大小变化而方向不变，当变化时，其封闭三角形的变化过程如图115所示，由图中变化即可看出FBC经历了先变小后变大的过程。 误区点拨从以
11、上的思路分析可知，本题用解析法，设了角，并且得出式子进行讨论，显得比较麻烦因此，解决这类问题，用图解法较好。 思维迁移不论是哪种解法，解题的关键是：正确判断合力和一个方向不变的分力，明确另一个分力方向变化的空间范围；选取长短适宜的有向线段表示合力，作图规范作图法是解决这类问题的比较有效、直观的方法。 变式题1如图116所示，m在三根细绳悬吊下处于平衡状态现用手持绳OB的B端，使OB缓慢向上转动，且始终保持结点O的位置不变，分析AO、BO绳中的拉力如何变化。 答案：FAO逐渐减小，FBO先减小后增大。 2如图118所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为在斜面上有一光滑的不计厚度的木板
12、挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角缓慢增大至板水平，在这个过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化? 答案：球对挡板的力先减小后增大至G，球对斜面的力则一直减小。 例3：如图119所示，在竖直平面的固定光滑圆轨道的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小环套在圆轨道上，用细线通过小孔系在环上，缓慢拉动细线，使环沿轨道上移，在移动过程中拉力F和轨道对小环的作用FN的大小变化情况是( ) AF不变，FN增大BF不变，FN不变 CF减小，FN不变DF增大，FN减小 思维过程 思路：由于缓慢拉动，圆环处于平衡状态对圆环受力分析：圆环受到重力mg，细线的拉力F和轨道的弹力FN三个力的作用，受力
13、分析如图120，利用共点力的平衡处理。 解析一：用正交分解法如图121建立坐标系，各力在x、y方向上均平衡： x方向 FNsin2Fsin y方向 FNcos2+mgFcos 由得FN=mg F=2mgcos 可见，在拉动过程中，轨道对环的弹力大小不变，拉力随角增大而减小。 解析二：相似法。拉力F与弹力FN的合力与重力mg平衡，如图122所示，则OAB与BCD相似，OAB为等腰三角形，所以 FN=mg F2mgcos 正确答案：C。 误区点拨从以上两种解法看，由于对力的平行四边形定则的理解和圆的数学知识运用不当，容易出现错解因此，解这类问题既要重视一般的解题规律(即正交分解法和平行四边形法)，
14、又要善于运用圆、平行四边形的数学知识解决物理问题。 思维迁移显然本题用相似形解决问题较简单，但无论哪种解析法，解题的关键是：正确画出受力分析图，运用力的平行四边形定则和圆的数学知识解决问题。 变式题： 1如图123所示，用细线吊着小球B放在光滑的大球面上，细线的另一端跨过光滑的小滑轮A由人拉着，已知小球的重量为G，小滑轮A处在大球面的正上方人以拉力F缓慢地使小球沿大球面逐渐上升中，拉力F、大球面对小球的支持力FN的变化情况是( ) AF变大，FN变大 BF变小，FN变小 CF变大，FN不变 DF变小，FN不变 答案：D正确。 2如图124所示，重力为mg的小球吊在长为L的绳上，绳的上端固定在A
15、点，小球放在半径为R的光滑球面上，球面的球心为O，AO为竖直线，A到球面顶点的距离为d，求绳的张力和球面对小球的支持力。 答案：绳的张力为mg，球面对小球的支持力为mg。 在线测试窗体顶端不定项选择题与填空题（第1题15分，第2,3题每题20分，填空题每空9分，共计100分）1在图14中，所有接触面都是光滑的，系统A沿水平面做匀速直线运动，系统B中沿竖直方向有相对运动，系统C、D静止，在所示的四个系统中，a、b两个物体之间没有(或可能没有)弹力作用的是 A B C D 窗体底端窗体顶端2如图17所示。倾角为30的斜面上物体的重量G8N，在平行于斜面向上的推力F8N作用下处于静止状态。若撤消推力
16、F，物体所受的合外力的大小为 N 。 窗体底端窗体顶端3质量为m的物体，放在质量为M的斜面上，斜面放在粗糙的水平面上，m和M均处于静止状态，如图l11所示，在物体m上再施加一水平力F，当F由零逐渐增大到Fm时，m和M始终保持静止状态在此过程中，下列说法正确的是( ) A斜面对m的支持力逐渐增大 B物体m所受的静摩擦力逐渐增大 C地面所受的摩擦力由0逐渐增大到Fm D物体对斜面的压力始终为mgcos 窗体底端窗体顶端4质量为m的小球放在倾角为的光滑斜面上，小球被与水平方向成角的细线系住，斜面体位于光滑水平面上，如图1-17所示。用水平力F缓慢向左推斜面体，使角减小，在此过程中细线的最小拉力为 A
17、mgcos Bmgsin Cmgsin2 Dmgcos2窗体底端窗体顶端5如图130所示，在一细绳C点系住一重物P，细绳两端A、B分别固定在墙面上，使AC保持水平，BC与水平方向成30角，细绳最大只能承受的拉力相同，那么C点悬挂物体质量缓慢增加时，细绳的 段首先断裂? 窗体底端窗体顶端6如图l25所示，大小相等，重量均为G的A、B球，半径均为r，细绳AO、BO的长度也为r，通过绳子CO挂在天花板上。已知绳子CO的拉力FC100N，问A球的重量G N，两球间的正压力FN N，绳子AO的拉力FA N。 窗体底端答案与解析 答案：1、ABD2、03、AC4、B5、BC6、50 28.87 57.74
18、 平衡专题(二) 一般而言，物体如果受到三个成特殊角度的外力而处于平衡状态，分析时优先考虑力的合成；若受到三个以上成特殊角度的力而处于平衡状态优先考虑力的正交分解；如果受到三个任意角度的力处于平衡状态则优先考虑相似三角形的办法，转化为几何问题求解，（如上一专题的最后两道变式题）。正如前面提到的，力学问题可以渗透到高中物理的任何一个板块，平衡问题也不例外，下面我们就通过几个例子来体会一下平衡和电磁学的综合问题。例4：如图所示，匀强电场沿水平方向向右，电场强度E=75N/C，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度B=510-2T；现有质量为m=2.010-5kg，带电量为q=+2.010-6C微粒子在
19、纸面内作匀速直线运动。取g=10N/kg。试分析计算带电的微粒子的速度大小和方向。 思维过程解析带电微粒子受电场力F=qE=1.510-4N，重力G=mg=2.010-4N(与电场力相比，不能不考虑)，作受力图，如图： 可知电场力与重力的合力大小为： f的方向与水平方向夹角=arctan =53。显而易见，带电粒子所受洛仑兹力Bqv应与f大小相等、方向相反，带电粒子的运动方向与洛仑兹力方向垂直，与水平方向夹=90-53=37，速度大小为=2.5103(m/s)误区点拨在作受力分析时，特别重要的是力的方向。不同性质的力，其方向特性也不同：电场力的方向与电场方向相同或相反；洛仑兹力的方向既与磁场方
20、向垂直，还与速度方向垂直，三者关系由左手定则确定。方向是不能搞错的。思维迁移1. 上述例题及变式题是研究带电质点在电场力（qE）、洛仑兹力（Bqv）作用下匀速直线运动的问题。所有力都是矢量，遵循同样的运算法则。2. 电磁学与力学这两部分知识连接的桥梁与前面类似是： 电磁学知识电磁力合力动力学知识 抓住这个桥梁，对我们解题会非常有帮助的。变式题1质量为m的小滑块，恰好能沿倾角等于的绝缘斜面匀速下滑，如小滑块带正电荷，电量为q，整个斜面处在竖直向下的、场强为E的匀强电场中，下列说法正确的是：（）A. 小滑块将沿斜面向下作匀加速运动B. 小滑块在斜面上所受合外力仍为零，它可能静止或沿斜面匀速下滑C.
21、 斜面虽然绝缘，但滑块在斜面上运动时，由于摩擦，可能改变带电情况，故无法作出判断D. 小滑块在斜面上的受力情况发生了变化，所以不可能还作匀速下滑运动解析小滑块不带电沿斜面匀速下滑时的受力图如图（甲），支持力N=mgcos，滑动摩擦力f=mgcos=mgsin；合外力为零，物体与斜面间的动摩擦因数=tan。 小滑块带正电并处在竖直向下的匀强电场中时，受竖直向下的重力和电场力作用，斜面对它的支持力变为N=(mg+qE)cos，如沿斜面向下运动，则滑动摩擦力f=N=(mg+qE)cos=(mg+qE)sin，如静止则受静摩擦力f0=(mg+qE)sin；显见，合外力仍为零。从上述分析可以看出，不论滑
22、块是否带电，或带多少电，只要匀强电场竖直向下，它所受的合外力总为零，那么要么静止在斜面上，要么匀速下滑，所以只有选择项B正确。2如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场的磁感强度B=0.15T；在该区域内还存在匀强电场，场强E=3.0104N/C；现有带负电的粒子沿着与磁场垂直的水平方向向右作匀速直线运动；不考虑带电粒子的重力。（1）试分析说明匀强电场的方向。（2）计算带电粒子的运动速度多大。 解析（1）粒子带负电荷，沿水平向右匀速运动时，受洛仑兹力竖直向下；则电场力应竖直向上，由于粒子带负电荷，匀强电场的方向应竖直向下。（2）由qE=Bqv可以求得带电粒子的运动速度： 3同一水平面中的平行导轨P、
23、Q相距L=30cm，处在与水平面成=53角的匀强磁场中，磁感强度B=2.0T，方向如图，重量G=5.0N的直导线ab垂直于导轨放在P、Q上；直导线中由a到b的电流由零增加到I1=5.0A时，ab开始滑动。试问：若直导线中的电流由b到a（其它条件不变），通过的电流由零开始增加到（I2）多大时，ab才会开始滑动？已知最大静摩擦力与正压力成正比。 解析电流I1由a到b通过直导线时，所受安培力F1=BI1L；方向如图甲： 根据题意，这种情况下ab受到的最大静摩擦力为f1=F1sin=BI1Lsin53=2.4(N)。这时直导线与导轨之间的正压力为N1=G-F1cos53=3.2(N)。可见：最大静摩擦
24、力与正压力之比为。电流b到a时，直导线所受安培力F2=BI2L，方向如图乙： 这时直导线与导轨之间的正压力为N2=G+BI2Lcos，最大静摩擦力f2=kN2，直导线开始滑动时，应满足的条件是F2sin-k(G+F2cos)=0 回味反思“平衡”专题是研究带电物体在重力、支持力、摩擦力、气液体压力、电场力（qE）、洛仑兹力（Bqv）作用下处于平衡状态的问题。处理此问题时，基本思路是应用牛顿第二定律解题的思路。其它知识和它衔接的桥梁是“力”。具体解题过程中需要注意以下几点：1. 由于涉及力较多，在受力分析时，注意将力要分析全，不要漏掉。另外，有些时候重力和摩擦力可能会忽略不计。2. 理解物理图景
25、将是这种综合题的基础和关键。然后再将综合题划分为应用单一知识的几个小题处理，最后再综合考虑所有的条件，将题解出。在线测试窗体顶端选择题1、如图所示，一个横截面积为S的圆筒形容器竖直放置，金属圆板A的上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为，圆板质量为M，不计圆板与容器内壁之间的摩擦。若大气压强为P0，则被圆板封闭在容器中的气体的压强P等于：（ ） A、 B、 C、 D、 窗体底端窗体顶端2、设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/m，磁感强度B=0.15T，今有带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿
26、垂直于场强的方向作匀速直线运动，此带电质点的电量与质量之比q/m为 ，电场与竖直方向夹角为 。窗体底端窗体顶端3、如图所示，质量为m、长度为L的直导线（ab）用两根长度为L、重量可以不计的平行导线悬挂在水平木板上的O、O点，O、O之间接在电池和开关；闭合开关后，通电的导线在竖直向下的磁感强度为B的匀强磁场作用下发生偏转，平衡时电路中电流为I，两根平行的导线对竖直方向的偏角为。下列说法正确的是：（ ） A、磁场力等于BIL B、导线拉力等于BIL/sin C、导线拉力等于mg/cos D、磁场的磁感强度 窗体底端窗体顶端4、质量分别为m1、m2的两个小球，用等长的细线悬吊于同一点O，两小球之间存
27、在着沿两球连线方向大小相等方向相反的斥力作用，静止时m1与m2的悬线与竖直方向的夹角分别为=37、=53（如图所示）。则两小球质量之比m1：m2= ： 。 窗体底端答案与解析 答案：1、D2、，373、A B C D4、4：3解析：1、根据压强的概念，作用于金属圆板下表面的压强P一定垂直于下表面，容器竖直放置，且略去圆板与容器内壁之间的摩擦，以圆板为研究对象，根据力的平衡得出竖直方向上的平衡方程：P0S+Mg-PScos=0其中S为金属圆板下表面的面积，与上表面面积S的关系为S=S/cos。将S代入上式中得：P0S+mg-PcosS/cos=0所以P=P0+Mg/S故D选项正确。2、根据题意分
28、析，有下列几点是可以肯定的：质点带负电，所受电场力的方向一定与电场方向相反；所受洛仑兹力方向一定与磁场方向垂直；已知电场方向与磁场方向相同，所以带电粒子所受电场力和洛仑兹力肯定互相垂直。带电质点作匀速直线运动，所受合外力肯定为零，故必须考虑带电质点所受的重力。重力方向竖直向下，则电场力和磁场力必分别斜向上而互相垂直，它们的合力与重力大小相等、方向相反；据此可作带电粒子的受力图（如图）。 由图可知：电场方向和磁场方向为斜向下与竖直方向夹角的一切可能方向。带电粒子的运动方向垂直于纸面向外。(qE)2+(Bqv)2=(mg)2得 电场与竖直方向夹角=arctan 4、分别对两小球进行受力分析并作出力
29、图受（如图所示），因各自处于静止状态，其合力必为零。 由于两条悬线相等，那么Om1m2是等腰三角形，1=2，对m1、m2由正弦定理可得： 因F1=F2，1=2，联立、两式有 将=37、=53代入上式可得m1:m2=4：3 平衡中的临界和极值问题临界问题是指：当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态。可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”，至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界问题。解临界问题的基本方法是假设推理法。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出
30、现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件。解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。【例1】一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。【分析】这是一个斜面问题。当增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态，此时是最大。【解答】依题意，有：mgsin=mgcos=tanarctan说明：tan=是一重要临界条件
31、。其意义是：tan时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；将物体静止置于斜面上，如tan，则物体保持静止；如tan，则物体不能保持静止，而加速下滑。将物体以一初速度置于斜面上，如tan，则物体做加速运动。因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为（tan），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B质量的取值范围。【解析】以B为研究对象，由平衡条件得：T=mBg再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用。假设A
32、处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示：根据平衡条件有：N=mgcosT+fm-mgsin=0fm=N或：T-fm-mgsin=0fm=N综上所得，B的质量取值范围是：m（sin-cos）mBm(sin+cos)说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势。【例3】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面？【解析】以球为研究对象，如图所示：有:N1sin=GN1cos=N2sin=(R-h)/R再以整体为研究对象得：N2=F即F=G
33、/(R-h)说明：球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，同时系统又平衡。【例4】如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为=1/，物体做匀速直线运动。求牵引力F的最小值和方向角。解：物体的受力图如图。建立坐标系，有：Fcos-N=0 Fsin+N-G=0 由、消去N得：F=G(cos+sin)令tan=，则cos+sin= F= 当=时，cos(-)取极大值1，F有最小值。Fmin= =G/2tan=1 =300=300点评：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中，F的大小随的变化而变化，要求F的极小值，就要根据题意求出F随而变的函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F的极值。此例中三角函数的变换是一种常用的方法，应牢记。
